Question

已知數(shù)列{a_n}的前三項分別為a₁＝5，a₂＝6，a₃＝8，且數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n＋m＝(S_2n＋S_2m)－(n－m)²，其中m，n為任意正整數(shù)．

(1)求數(shù)列{a_n}的通項公式及前n項和S_n；

(2)求滿足S－a_n＋33＝k²的所有正整數(shù)k，n.

Answer 1

解　(1)在等式S_m＋n＝(S_2n＋S_2m)－(n－m)²中，分別令m＝1，m＝2，得

S_n＋1＝(S_2n＋S₂)－(n－1)²，①

S_n＋2＝(S_2n＋S₄)－(n－2)²，②

②－①，得a_n＋2＝2n－3＋.(3分)

在等式S_n＋m＝(S_2n＋S_2m)－(n－m²)中，令n＝1，m＝2，得S₃＝(S₂＋S₄)－1，由題設知，S₂＝11，S₃＝19，故S₄＝29.

所以a_n＋2＝2n＋6(n∈N^*)，即a_n＝2n＋2(n≥3，n∈N^*)．

又a₂＝6也適合上式，

故a_n＝ (5分)

S_n＝即S_n＝n²＋3n＋1，n∈N^*.(6分)

(2)記S－a_n＋33＝k²(*)．

n＝1時，無正整數(shù)k滿足等式(*)．

n≥2時，等式(*)即為(n²＋3n＋1)²－3(n－10)＝k².(8分)

①當n＝10時，k＝131.(9分)

②當n＞10時，則k＜n²＋3n＋1，

又k²－(n²＋3n)²＝2n²＋3n＋31＞0，所以k＞n²＋3n.

從而n²＋3n＜k＜n²＋3n＋1.

又因為n，k∈N^*，所以k不存在，從而無正整數(shù)k滿足等式(*)．(12分)

③當n＜10時，則k＞n²＋3n＋1，因為k∈N^*，所以k≥n²＋3n＋2.

從而(n²＋3n＋1)²－3(n－10)≥(n²＋3n＋2)².

即2n²＋9n－27≤0.因為n∈N^*，所以n＝1或2.(14分)

n＝1時，k²＝52，無正整數(shù)解；

n＝2時，k²＝145，無正整數(shù)解．

綜上所述，滿足等式(*)的n，k分別為n＝10，k＝131.(16分)