定義在R上的奇函數(shù)f(x),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-x2+2x.函數(shù)y=g(x)的定義域?yàn)閇a,b],值域?yàn)閇
1
b
,
1
a
],其中a、b≠0.在x∈[a,b]時(shí)f(x)=g(x).
(1)求f(x)解析式;
(2)求a、b的值;
(3)是否存在實(shí)數(shù)m,使{(x,y)|y=g(x),x∈[a,b]}∩{(x,y)|y=
1
4
x2+m}≠∅?若存在,求出m的值;若不存在請(qǐng)說明理由.
考點(diǎn):函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)設(shè)x<0,則-x>0.利用當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-x2+2x和奇函數(shù)的性質(zhì)即可得出.
(2)函數(shù)y=g(x)的定義域?yàn)閇a,b],值域?yàn)?span id="nwckca8" class="MathJye">[
1
b
,
1
a
],這表明
a<b
1
b
1
a
,可見a,b同號(hào).
當(dāng)a,b>0時(shí),考慮以下三種情況:0<a<b≤1,0<a<1<b,1≤a<b<2.利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得到.
(3)考察函數(shù)g(x)=
-x2+2x,(1≤x≤
1+
5
2
)
x2+2x,(
-1-
5
2
≤x≤-1)
,由題意可得方程組
y=g(x)
y=
1
4
x2+m
有解,解出即可.
解答: 解:(1)設(shè)x<0,則-x>0.
∵當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-x2+2x,
∴f(-x)=-x2-2x.
∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),
∴f(x)=-f(-x)=x2+2x.
又f(0)=0.
∴f(x)=
-x2+2x,x≥0
x2+2x,x<0

(2)函數(shù)y=g(x)的定義域?yàn)閇a,b],值域?yàn)?span id="5j2g3cr" class="MathJye">[
1
b
,
1
a
],這表明
a<b
1
b
1
a
,可見a,b同號(hào).
當(dāng)a,b>0時(shí),考慮以下三種情況:0<a<b≤1,0<a<1<b,1≤a<b<2.
當(dāng)0<a<b≤1,則
1
a
>1
,當(dāng)x∈(0,1]時(shí),f(x)≤1,這與g(x)的值域?yàn)?span id="qzxdtzf" class="MathJye">[
1
b
1
a
]相矛盾;
當(dāng)1≤a<b<2,g(x)是減函數(shù),可見
1
b
=g(b)=-b2+2b
1
a
=g(a)=-a2+2a
,解得
a=1
b=
1+
5
2

當(dāng)a,b<0時(shí),在-2<b<a≤-1條件下可得:
b=-
1+
5
2
a=-1

(3)考察函數(shù)g(x)=
-x2+2x,(1≤x≤
1+
5
2
)
x2+2x,(
-1-
5
2
≤x≤-1)
,
由題意方程組
y=g(x)
y=
1
4
x2+m
有解,
2x-
5
4
x2=m
[1,
1+
5
2
]
內(nèi)有實(shí)數(shù)根;或2x+
3
4
x2=m
[
-1-
5
2
,-1]
內(nèi)有實(shí)數(shù)根.
解得m∈[
-7+3
5
8
,
3
4
]
[-
4
3
,-
5
4
]
點(diǎn)評(píng):本題考查了分段函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì),考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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在直角坐標(biāo)系xoy中,直線I的參數(shù)方程為
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
  (t為參數(shù)),若以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=
2
cos(θ+
π
4
).
(1)求直線I被曲線C所截得的弦長(zhǎng);
(2)若M(x,y)是曲線C上的動(dòng)點(diǎn),求x+y的最大值.

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根據(jù)下列條件解三角形:c=
6
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已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,其周長(zhǎng)4(
2
+1),且sinB+sinC=
2
sinA.
(1)求邊BC的長(zhǎng);
(2)若△ABC的面積為3sinA,求cosA的值.

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已知等比數(shù)列{an}滿足2a1+a3=3a2,且a3+2是a2,a4的等差中項(xiàng),n∈N*
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=an+log2an,Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,求使Sn-2n+1-8≤0成立的n的取值集合.

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已知中心在原點(diǎn),長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)是(0,-
5
),離心率為
6
6
,左、右焦點(diǎn)分別為F1和F2
(1)求橢圓方程;
(2)試探究橢圓上是否存在一點(diǎn)P,使
PF1
PF2
=0,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,若
OA
OB
=
OB
OC
=
OC
OA
,且|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|=2,則△ABC的周長(zhǎng)為(  )
A、
3
B、2
3
C、3
3
D、6
3

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去年年我校高二理科班學(xué)生共有800人參加了數(shù)學(xué)與地理的學(xué)業(yè)水平測(cè)試,現(xiàn)學(xué)校決定利用隨機(jī)數(shù)表法從中抽取100人進(jìn)行成績(jī)抽樣統(tǒng)計(jì),先將800人按001,002,…,800進(jìn)行編號(hào):如果從第8行第7列的數(shù)開始向右讀,請(qǐng)你依次寫出最先檢測(cè)的五個(gè)人的編號(hào)
 
:(下面摘取了第7行至第9行)

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若f(x)對(duì)任意的x1<x2,均有[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0,且f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1,-1)和(0,1),則不等式|f(x)|<1的解集是
 

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