Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，且a_n=

Sn

n

+n-1．
（1）證明：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列
（2）求數(shù)列{5 an}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n=

Sn

n

+n-1，可得nan=Sn+n2-n．利用“當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”可得a_n-a_n-1=2，即可證明；
（2）由（1）可得a_n=2n-1.5an=5^2n-1，因此數(shù)列{5 an}是首項為5，公比為25的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： （1）證明：∵a_n=

Sn

n

+n-1，∴nan=Sn+n2-n．
當n≥2時，(n-1)an-1=Sn-1+(n-1)2-(n-1)，
∴na_n-（n-1）a_n-1=a_n+n²-n-[（n-1）²-（n-1）]，
化為a_n-a_n-1=2，
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，首項為1，公差為2．
（2）解：由（1）可得a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∴5an=5^2n-1，
∴數(shù)列{5 an}是首項為5，公比為25的等比數(shù)列．
∴數(shù)列{5 an}的前n項和T_n=

5(25n-1)

25-1

=

5

24

(25n-1)．

點評：本題考查了遞推式的應用、等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．