Question

如圖1，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁C⊥CD，如圖2．
（Ⅰ）求證：A₁C⊥平面BCDE；
（Ⅱ）若M是A₁D的中點(diǎn)，求CM與平面A₁BE所成角的大小；
（Ⅲ）點(diǎn)F是線段BE的靠近點(diǎn)E的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P是線段A₁F上的點(diǎn)，直線l過點(diǎn)B且垂直于平面BCDE，求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）通過證明DE⊥平面A₁CD，推出A₁C⊥DE，A₁C⊥CD，利用直線與平面垂直的判定定理證明A₁C⊥平面BCDE．
（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，推出D，A，B，E，坐標(biāo)，求出平面A₁BE法向量為

n

=（x，y，z）．求出

CM

=（-1，0，

3

）．，利用向量的數(shù)量積求解CM與平面A₁BE所成角的大�。�
（Ⅲ）設(shè)F（x₀，y₀，0），利用向量共線求出F(-

4

3

，

7

3

，0)，求出P（

-4

3

λ，

7

3

λ，2

3

-2

3

λ)，設(shè)點(diǎn)P在直線l上的射影為P'，推出P′(0，3，2

3

-2

3

λ)，利用點(diǎn)P到直線l的距離的平方，通過λ∈[0，1]，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解點(diǎn)P到直線l的距離的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）證明：由題CD⊥DE，A₁D⊥DE，CD∩A₁D=D
∴DE⊥平面A₁CD，又∵A₁C?平面A₁CD，
∴A₁C⊥DE，又∵A₁C⊥CD，
，DE∩CD=D，∴A₁C⊥平面BCDE．
（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，則D（-2，0，0），

A（0，0，2

3

），B（0，3，0），E（-2，2，0）∴

AB

=(0，3，-2

3

)，

BE

=(-2，-1，0)
設(shè)平面A₁BE法向量為

n

=（x，y，z）．
則

A1B • n =0 BE • n =0

∴

3y-2 3 z=0 -2x-y=0

∴

z= 3 2 y x=- y 2

∴不妨取

n

=（-1，2，

3

），
又∵M(jìn)（-1，0，

3

）．
∴

CM

=（-1，0，

3

）．
∴sinθ=|cos＜

CM

，

n

＞|=

CM • n

| CM |•| n |

=

1+3

1+4+3 • 1+3

=

4

2•2 2

=

2

2

，
∴CM與平面A₁BE所成角的大小45°．
（Ⅲ）設(shè)F（x₀，y₀，0），則

BF

=(x0，y0-3，0)，

BE

=(-2，-1，0)
由題

BF

=

2

3

BE

∴

x0=- 4 3 y 0= 7 3

，即F(-

4

3

，

7

3

，0)
設(shè)P(x1，y1，

z

1

)，

A   1 P

=(x1，y1，z1-2

3

)，

A1F

=(-

4

3

，

7

3

，-2

3

)
設(shè)

A1P

=λ

A1F

，即(x1，y1，z1-2

3

)=λ(-

4

3

，

7

3

，-2

3

)．
∴x1=

-4

3

λ，y1=

7

3

λ，z1=2

3

-2

3

λ
即P（

-4

3

λ，

7

3

λ，2

3

-2

3

λ)
設(shè)點(diǎn)P在直線l上的射影為P'，則P′(0，3，2

3

-2

3

λ)
點(diǎn)P到直線l的距離的平方|PP′|2=

16

9

λ2+(

7

3

λ-3)2=

65

9

λ2-14λ+9 
由題λ∈[0，1]，故當(dāng)λ=

63

65

時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離有最小值

12 65

65

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，直線與平面所成角的大小，點(diǎn)到平面的距離的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．