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已知函數f（x）=-2x+4，令Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+f（
3
n
）+…+f（
n-1
n
）+f（1）．
（1）求Sn；
（2）設bn=
an
Sn
（a∈R）且bn＜bn+1對所有正整數n恒成立，求a的取值范圍．
考點：數列與不等式的綜合,數列的求和
專題：計算題,函數的性質及應用,點列、遞歸數列與數學歸納法
分析：（1）計算可得，f（x）+f（1-x）=6，令Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+f（
3
n
）+…+f（
n-1
n
）+f（1），則Sn=f（
n-1
n
）+f（
n-2
n
）+f（
n-3
n
）+…+f（
1
n
）+f（1）．兩式相加，即可得到Sn；
（2）由于bn＜bn+1對所有正整數n恒成立，即有
an
3n-1
＜
an+1
3n+2
，即為a＞
3n+2
3n-1
，由數列的單調性，即可得到a的范圍．
解答： 解：（1）函數f（x）=-2x+4，則f（1-x）=4-2（1-x）=2+2x，
即有f（x）+f（1-x）=6，
令Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+f（
3
n
）+…+f（
n-1
n
）+f（1），
則Sn=f（
n-1
n
）+f（
n-2
n
）+f（
n-3
n
）+…+f（
1
n
）+f（1）．
上面兩式相加，可得2Sn=6（n-1）+2×2，
則有Sn=3n-1；
（2）由于bn=
an
Sn
=
an
3n-1
，則bn+1=
an+1
3n+2
，
且bn＜bn+1對所有正整數n恒成立，
即有
an
3n-1
＜
an+1
3n+2
，即為a＞
3n+2
3n-1
=1+
3
3n-1
，
由于
3
3n-1
為遞減數列，則n=1時，取得最大值
3
2
，
則a＞
5
2
．
則a的取值范圍是（
5
2
，+∞）．
點評：本題考查數列的求和方法：倒序求和，考查數列的單調性和運用，考查運算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖1，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如圖2．
（Ⅰ）求證：A1C⊥平面BCDE；
（Ⅱ）若M是A1D的中點，求CM與平面A1BE所成角的大��；
（Ⅲ）點F是線段BE的靠近點E的三等分點，點P是線段A1F上的點，直線l過點B且垂直于平面BCDE，求點P到直線l的距離的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=lnx+ax2+bx．
（1）如果函數f（x）在x=1處取得極值0，求實數a、b的值；
（2）若b=-2a-1，求函數f（x）的單調區(qū)間．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=-alnx+
2a2
x
+x
（Ⅰ）若a＞0，且曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線y=
1
2
x垂直，求實數a的值；
（Ⅱ）當a＜0時，討論函數f（x）的單調性；
（Ⅲ）當a∈（-∞，0）時，記函數f（x）的最小值為g（a），求證：g（a）≥-e-4．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（-1，
3
），
b
=（
3
2
，
1
2
），
c
=
a
+（m+1）
b
，
d
=-
1
m
a
+
1
n
b
（mn≠0）
（1）若m=-
1
2
，n=-
1
16
，求向量
c
與
d
的夾角；
（2）若n=
1
3
，且|
a
+
c
|=|
b
+
d
|，求m的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

方程x3-
9
2
x2+6x-a=0有且只有1個實數根，則a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

正方形AP1P2P3的邊長為4，點B，C分別是邊P1，P2，P3，P4的中點，沿AB，BC，CA折成一個三棱錐P-ABC（使P1，P2，P3重合于P），則三棱錐P-ABC的外接球體積為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

直線l：mx+（m-1）y-1=0（m為常數），圓C：（x-1）2+y2=4，則下列說法正確的是（　�。�
A、當m變化時，直線l恒過定點（-1，1）
B、直線l與圓C有可能無公共點
C、對任意實數m，圓C上都不存在關于直線l對稱的兩點
D、若直線l與圓C有兩個不同交點M、N，則線段MN的長的最小值為2
3

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科目：高中數學 來源： 題型：

直線x-y+a=0與圓（x-a）2+y2=2至多有一個公共點，則a的取值范圍為
 
．

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