Question

7．已知M是拋物線C：y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，∠MFx=60°且|FM|=4．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)P在y軸正半軸，直線PF交拋物線C于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，其中y₁＞0，y₂＜0，試問$\frac{|PA|}{|AF|}$-$\frac{|PB|}{|BF|}$是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）拋物線的準(zhǔn)線方程為l′：x=-$\frac{p}{2}$，推出△MNF為等邊三角形，進(jìn)而得到拋物線方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），聯(lián)立拋物線方程運(yùn)用韋達(dá)定理，代入所求式子化簡即可得到定值-1

解答 解：（Ⅰ）拋物線的準(zhǔn)線方程為l′：x=-$\frac{p}{2}$，過點(diǎn)M作MN⊥l′交于點(diǎn)N，連接NF，
由拋物線的定義可知|MN|=|FM|，
又∠NMF=∠MFx=60°，
所以△MNF為等邊三角形，
所以|NF|=4，于是p=2，
所以拋物線的方程為y²=4x，
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），
聯(lián)立y²=4x，消去y可得k²x²-（2k²+4）+k²=0，
因為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁x₂=1，x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$
又$\frac{|PA|}{|AF|}$=$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$，$\frac{|PB|}{|BF|}$=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{2}-1}$，
所以$\frac{|PA|}{|AF|}$-$\frac{|PB|}{|BF|}$=$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$-$\frac{{x}_{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）}{（{x}_{1}+{x}_{2}）-1-{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2-2-\frac{4}{{k}^{2}}}{2+\frac{4}{{k}^{2}}-1-1}$=-1，
即$\frac{|PA|}{|AF|}$-$\frac{|PB|}{|BF|}$為定值，且定值為-1．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．