Question

（2013•浙江模擬）函數(shù)f（x）=sin2x+2

3

cos²x-

3

，函數(shù)g（x）=mcos（2x-

π

6

）-2m+3（m＞0），若存在x₁，x₂∈[0，

π

4

]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

[

2

3

，2]

．

Answer 1

分析：由x∈[0，

π

4

]，可求得f（x）∈[1，2]，g（x）∈[-

3m

2

+3，3-m]，依題意，存在x₁，x₂∈[0，

π

4

]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，可得到關(guān)于m的不等式組，解之可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：∵f（x）=sin2x+2

3

cos²x-

3

=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

），
當(dāng)x∈[0，

π

4

]，2x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，
∴sin（2x+

π

3

）∈[1，2]，
∴f（x）∈[1，2]，
對(duì)于g（x）=mcos（2x-

π

6

）-2m+3（m＞0），2x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]，mcos（2x-

π

6

）∈[

m

2

，m]，
∴g（x）∈[-

3m

2

+3，3-m]，
若存在x₁，x₂∈[0，

π

4

]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
則3-m≥1，-

3m

2

+3≤2，解得實(shí)數(shù)m的取值范圍是[

2

3

，2]．
故答案為：[

2

3

，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，著重考查三角函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用，考查二倍角的余弦，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是理解“存在x₁，x₂∈[0，

π

4

]，使得f（x₁）=g（x₂）成立”的含義，屬于難題．