Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點（0，

3

），且一個焦點為（-1，0）．
（Ⅰ）求橢圓C 的方程；
（Ⅱ）自點P（m，0）引直線l交橢圓于A，B兩點，若

AP

=λ

PB

且

OA

+λ

OB

=3

OP

，其中O是坐標原點，試求m的 取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點（0，

3

），且一個焦點為（-1，0）．可得b=

3

，c=1，a²=b²+c²=4．解出即可．
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用

AP

=λ

PB

，

OA

+λ

OB

=3

OP

，可得(2-λ)

OP

=

0

，解得λ=2．可得

OP

=(

x1+2x2

3

，

y1+2y2

3

)=（m，0）．x₁+2x₂=3m，y₁+2y₂=0，代入

x 2 2

4

+

y 2 2

3

=1，又

x 2 1

4

+

y 2 1

3

=1，可得x1=

3m2-4

2m

，利用x₁∈[-2，2]，解出即可．

解答： 解：（I）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點（0，

3

），且一個焦點為（-1，0）．
∴b=

3

，c=1，∴a²=b²+c²=4．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．∵

AP

=λ

PB

，∴

OP

-

OA

=λ

OB

-λ

OP

，又

OA

+λ

OB

=3

OP

，∴(2-λ)

OP

=

0

，∴λ=2．
∴

OA

+2

OB

=3

OP

，可得

OP

=(

x1+2x2

3

，

y1+2y2

3

)=（m，0）．∴x₁+2x₂=3m，y₁+2y₂=0．
∵

x 2 2

4

+

y 2 2

3

=1，
∴

(3m-x1)2

4

+

y 2 1

3

=4，
又∵

x 2 1

4

+

y 2 1

3

=1，
∴x1=

3m2-4

2m

，
∵x₁∈[-2，2]，
∴-2≤

3m2-4

2m

≤2，
m＞0時，化為

3m2-4m-4≤0 3m2+4m-4≥0

，解得

2

3

≤m≤2；
同理m＜0，解得-2≤m≤-

2

3

．
綜上可得：m的取值范圍是[-2，-

2

3

]∪[

2

3

，2]．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、點與橢圓的位置關系、向量的坐標運算、一元二次不等式組的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．