Question

給定整數(shù)n（n≥3），記f（x）為集合{1，2，…2ⁿ-1}的滿足如下兩個(gè)條件的子集A的元素個(gè)數(shù)的最小值：
a）1∈A，2ⁿ-1∈A；
b）A中的元素（除1外）均為A中的另兩個(gè)（可以相同）元素的和．
（1）求f（3）的值；
（2）求證：f（100）≤108．

Answer 1

考點(diǎn)：集合中元素個(gè)數(shù)的最值

專題：集合

分析：根據(jù)定義，分別進(jìn)行驗(yàn)證即可求出f（3）的值，然后根據(jù)條件進(jìn)行遞推，即可得到不等式的結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)集合A⊆{1，2，…2³-1}，且A滿足（a），（b）．
則1∈A，7∈A．
由于{1，m，7}，（m=2，3，4，5，6）不滿足（b），故A集合的元素個(gè)數(shù)大于3．
又 {1，2，3，7}，{1，2，4，7}，{1，2，5，7}，{1，2，6，7}，{1，3，4，7}，{1，3，5，7}，{1，3，6，7}，{1，4，5，7}，{1，4，6，7}，{1，5，6，7}都不滿足 （b），
故A集合的元素個(gè)數(shù)大于4．
而集合{1，2，4，6，7}滿足（a），（b），
∴f（3）=5．
（2）首先證明f（n+1）≤f（n）+2，n≥3                     ①
事實(shí)上，若A⊆{1，2，…2ⁿ-1}，滿足（a），（b），且A的元素個(gè)數(shù)為f（n）．
令B=A∪{2ⁿ⁺¹-2，2ⁿ⁺¹-1}，由于{2ⁿ⁺¹-2＞2ⁿ-1，
故|B|=f（n）+2．
又2ⁿ⁺¹-2=2（2ⁿ-1），2ⁿ⁺¹-1=1+（2ⁿ⁺¹-2），
所以，集合B⊆{1，2，…，2ⁿ⁺¹-1}，且B滿足（a），（b）．從而
f（n+1）≤|B|=f（n）+2，
其次證明：f（2n）≤f（n）+n+1，n≥3                    ②
事實(shí)上，設(shè)A⊆{1，2，…2ⁿ-1}，滿足（a），（b），且A的元素個(gè)數(shù)為f（n）．令
B=A∪{2ⁿ⁺¹-2，2ⁿ⁺¹-1…2²ⁿ-1}，
由于  2（2ⁿ-1）＜2²（2ⁿ-1）＜???＜2²ⁿ-1，
所以B⊆{1，2，…2²ⁿ-1}，且|B|=f（n）+n+1．
而2^k+1（2ⁿ-1）=2^k（2ⁿ-1）+2^k（2ⁿ-1），k=0，1，2???n-1，
從而B滿足（a），（b），于是
f（2n）≤|B|=f（n）+n+1． …（14分）
由①，②得 f（2n+1）≤f（n）+n+1．                       ③
反復(fù)利用②，③可得
f（100）≤f（50）+50+1≤f（25）+25+1+51≤f（12）+12+3+77≤f（6）+6+1+92≤f（3）+3+1+99=108．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查與集合有關(guān)的試題的證明，難度較大，綜合性較強(qiáng)．