Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）過點的切線斜率為，求實數(shù)的值；

（2）當時，求證：；

（3）在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可求實數(shù)的值；（2）分析題意可知，問題等價于證明，因此構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷其單調(diào)性，通過求其最值即可證明；（3）將條件中的不等式參變分離，得，從而問題就等價于研究函數(shù)在區(qū)間上的取值情況，利用導數(shù)判斷其單調(diào)性即可求解．

試題解析：（1） ，，； 2分

（2）令，， 4分

令，即，解得，∴在上遞減，在上遞增，

∴最小值為，∴， 6分；（3）由題意可知，化簡得，， 8分 令，

則，， 9分

由（2）知，在時，，

∴，即在上單調(diào)遞增，∴， 11分

∴． 12分

考點：1．利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；2．利用導數(shù)求函數(shù)的最值；3．恒成立問題．

考點分析： 考點1：導數(shù)及其應(yīng)用 試題屬性

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