Question

17．已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且c=2，2sinA=$\sqrt{3}$acosC．
（1）求角C的大��；
（2）若2sin2A+sin（2B+C）=sinC，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理得，sinCsinA=$\sqrt{3}$sinAcosC，結(jié)合sin A＞0，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡可求tanC=$\sqrt{3}$，結(jié)合角的范圍即可得解C的值．
（2）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可求4sin Acos A=2sin Bcos A，分類討論，利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 （本題滿分為14分）
解：（1）由已知得，csinA=$\sqrt{3}$acosC，
由正弦定理得，sin Csin A=$\sqrt{3}$sin Acos C．
又sin A＞0，
∴cos C≠0，sinC=$\sqrt{3}$cosC，tanC=$\sqrt{3}$，
∴C=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）由2sin 2A+sin（2B+C）=sinC，
可得：2sin 2A=sin C-sin（2B+C），
∴4sin Acos A=sin（A+B）-sin[（π-A）+B]=sin（A+B）+sin（B-A）=2sin Bcos A．
當cos A=0時，A=$\frac{π}{2}$，此時B=$\frac{π}{6}$，
∵c=2，
∴b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，S_△ABC=$\frac{1}{2}$bc=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
當cos A≠0時，sin B=2sin A，
∴b=2a．由c²=a²+b²-2abcos C得，4=a²+b²-ab．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{b=2a}\\{{a}^{2}+^{2}-ab=4}\end{array}\right.$，得$a=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，b=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
綜上所述，△ABC的面積為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．…（14分）

點評 本題主要考查了正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，屬于中檔題．