Question

若函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，如果實數(shù)t滿足f（t）+f（-t）＜2f（1），那么t的取值范圍是

 

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Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)和函數(shù)的奇偶性化簡不等式，然后利用函數(shù)是偶函數(shù)得到不等式f（t）≤f（1），等價為f（|t|）≤f（1），利用函數(shù)在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增即可得到不等式的解集．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（t）+f（-t）＜2f（1），等價為2f（t）≤2f（1），
即f（t）≤f（1）．
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增．
∴不等式f（t）≤f（1）等價為f（|t|）≤f（1）．
即|t|≤1，
∴-1≤t≤1，
故答案為：-1≤t≤1．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，利用函數(shù)是偶函數(shù)的性質(zhì)得到f（a）=f（|a|）是解決偶函數(shù)問題的關(guān)鍵．先利用對數(shù)的性質(zhì)將不等式進行化簡是解決本題的突破點．