Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差d不為零，S_n為其前n項和，S₆=5S₃
（Ⅰ）求證：a₂，a₃，a₅成等比數(shù)列；
（Ⅱ）若a₂=2，且a₂，a₃，a₅為等比數(shù)列{b_n}的前三項，求數(shù)列|

Sn+1

bn

|的最大項的值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用等差數(shù)列的前n項和公式由S₆=5S₃，得a₁=0，由此能證明a₂，a₃，a₅成等比數(shù)列．
（Ⅱ）由已知條件得S_n=n（n-1），S_n+1=n（n+1），bn=2n，

Sn+2

2n+1

-

Sn+1

2n

=

(n+1)(2-n)

2n+1

，由此能求出數(shù)列|

Sn+1

bn

|的最大項的值為

S3

22

=

3×2

4

=

3

2

．

解答： （Ⅰ）證明：∵等差數(shù)列{a_n}的公差d不為零，S_n為其前n項和，S₆=5S₃，
∴6a₁+15d=15a₁+15d，
解得a₁=0，
∴a₂=d，a₃=2d，a₅=4d，
∵d≠0，∴a₂，a₃，a₅成等比數(shù)列，且公比為2．
（Ⅱ）解：∵a₂=2，∴d=2，
a₂，a₃，a₅為等比數(shù)列{b_n}的前三項，
∴b₁=2，b₂=4，b₃=8，
∴S_n=n（n-1），S_n+1=n（n+1），bn=2n，

Sn+2

2n+1

-

Sn+1

2n

=

(n+1)(n+2)

2n+2

-

n(n+1)

2n+1

=

(n+1)(2-n)

2n+1

，
當n=1時，

Sn+2

2n+1

＞

Sn+1

2n

，
當n=2時，

Sn+2

2n+1

=

Sn+1

2n

，
當n≥3時，

Sn+2

2n+1

＜

Sn+1

2n

，
∴

S2

2

＜

S3

22

=

S4

23

＞

S5

24

＞…，
∴數(shù)列|

Sn+1

bn

|的最大項的值為

S3

22

=

3×2

4

=

3

2

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的最大項和值的求法，是中檔題，解題時要熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)．