Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-xⁿ+ax+b（a，b∈R，n∈N^*），函數(shù)g（x）=sinx．
（Ⅰ）當(dāng)a=b=n=3時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a=b=1，n=2時(shí)，求函數(shù)h（x）=g（x）-f（x）的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)n=4時(shí)，已知|f（x）|≤

1

2

對(duì)任意x∈[-1，1]恒成立，且關(guān)于x的方程f（x）=g（x）有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂．試證明：x₁+x₂＜0．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=b=n=3時(shí)，f（x）=-x³+3x+3，f′（x）=-3x²+3，從而f（x）在（-1，1）遞增，在（-∞，-1），（1，+∞）遞減，
（Ⅱ）a=b=1且n=2時(shí)，h（x）=sinx+x²-x-1，則h′（x）=c0sx+2x-1，令k（x）=h′（x），得h（x）=g（x）-f（x）的最小值h（x）_min=h（0）=-1；
（Ⅲ）?x∈[-1，1]，有|f（x）|≤

1

2

，從而|f（0）|≤

1

2

，|f（1）|≤

1

2

，|f（-1）|≤

1

2

，解得b=

1

2

，a=0，從而f（x）=-x⁴+

1

2

，經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)符合題意，設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=-x⁴+

1

2

-sinx，由F（-2），F(xiàn)（-1），F(xiàn)（0），F(xiàn)（1）且x的方程f（x）=g（x）有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂，故x₁+x₂＜0．

解答： 解；（Ⅰ）當(dāng)a=b=n=3時(shí)，f（x）=-x³+3x+3，f′（x）=-3x²+3，
令f′（x）＞0，解得：-1＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜-1，
∴f（x）在（-1，1）遞增，在（-∞，-1），（1，+∞）遞減，
（Ⅱ）a=b=1且n=2時(shí)，h（x）=sinx+x²-x-1，
則h′（x）=cosx+2x-1，
令k（x）=h′（x），則k′（x）=-sinx+2，
∵k′（x）＞0，∴k（x）在R上遞增，
又k（0）=0，
∴x＞0時(shí)，k（x）=h′（x）＞h′（0）=0，h（x）在（0，+∞）遞增，
x＜0時(shí)，k（x）=h′（x）＜h′（0）=0，h（x）在（-∞，0）遞減，
∴h（x）=g（x）-f（x）的最小值h（x）_min=h（0）=-1；
（Ⅲ）∵?x∈[-1，1]，有|f（x）|≤

1

2

，
∴|f（0）|≤

1

2

，|f（1）|≤

1

2

，|f（-1）|≤

1

2

，
∴

- 1 2 ≤b≤ 1 2 ，     ① 1 2 ≤a+b≤ 3 2 ，   ② 1 2 ≤-a+b≤ 3 2    ③

，
由②+③得

1

2

≤b≤

3

2

，④，再由①④得b=

1

2

，∴a=0，
∴f（x）=-x⁴+

1

2

，經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)符合題意，
設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=-x⁴+

1

2

-sinx，
∵F（-2）=-16+

1

2

-sin（-2）＜0，
F（-1）=sin1-

1

2

＞sin

π

6

-

1

2

=0，
F（0）=

1

2

-sin0＞0，
F（1）=-

1

2

-sin1＜0，
∵x的方程f（x）=g（x）有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂，
∴-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1，
故x₁+x₂＜0．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)，考察推理論證能力，運(yùn)算求解能力，考察函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．