Question

17．函數(shù)f（x）=-x³-mx+2m-1，若函數(shù)y=|f（x）|在[1，2]上單調(diào)遞增，則m的取值范圍為m≤-12或-3≤m＜2．

Answer 1

分析 求出f（x）的導數(shù)f′（x），討論m的取值范圍，利用f′（x）判斷f（x）在x∈[1，2]上的單調(diào)性，從而求出函數(shù)y=|f（x）|在[1，2]上單調(diào)遞增的m的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=-x³-mx+2m-1，
∴f′（x）=-3x²-m，
當m≥0時，f′（x）≤0，f（x）在x∈[1，2]上單調(diào)遞減，
且f（1）=m-2＜0，
∴f（1）f（2）＞0，
即-9（m-2）＞0，解得m＜2；
取0≤m＜2，滿足函數(shù)y=|f（x）|在[1，2]上單調(diào)遞增；
當m＜0時，令f′（x）=0，解得x=±$\sqrt{-\frac{m}{3}}$，
則$\sqrt{-\frac{m}{3}}$≤1時，m≥-3，f（x）在x∈[1，2]上單調(diào)性相同，且f（1）=m-2＜0，
令f（1）f（2）＞0，解得m＜2，
∴-3≤m＜0；
$\sqrt{-\frac{m}{3}}$≥2時，m≤-12，f（x）在x∈[1，2]上單調(diào)性相同，且f（1）=m-2＜0，
令f（1）f（2）＞0，解得m＜2，
∴m≤-12；
1＜$\sqrt{-\frac{m}{3}}$＜2時，-12＜m＜-3，f（x）在x∈[1，2]上不具有單調(diào)性，不滿足題意；
綜上，m的取值范圍是m≤-12或-3≤m＜2．
故答案為：m≤-12或-3≤m＜2．

點評 本題考查了利用導數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性問題，也考查了分類討論思想的應用問題，是綜合性題目．