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6.已知函數(shù)f(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)
(1)若f(x)在區(qū)間[2,3]上的最大值為4、最小值為1,求a,b的值;
(2)若a=1,b=1,關(guān)于x的方程f(|2x-1|)+k(4-3|2x-1|)=0,有3個不同的實數(shù)解,求實數(shù)k的值.

分析 (1)根據(jù)f(x)的開口方向和對稱軸可知f(x)在[2,3]上是增函數(shù),根據(jù)最值列出方程組解出a,b;
(2)令|2x-1|=t,得到關(guān)于t的二次函數(shù)h(t),結(jié)合t=|2x-1|的函數(shù)圖象可判斷h(t)的零點分布情況,列出不等式組解出k的值.

解答 解:(1)f(x)=a(x-1)2+1+b-a.
∵a>0,f(x)的對稱軸為x=1,
可得f(x)在[2,3]上為增函數(shù),
故f(2)=1,f(3)=4,
即1+b=1,3a+1+b=4,
解得a=1,b=0;
(2)由題意可得f(x)=x2-2x+2,
∴f(|2x-1|)+k(4-3|2x-1|)=0,
即為|2x-1|2-2|2x-1|+2+k(4-3|2x-1|)=0,
即|2x-1|2-(2+3k)|2x-1|+2(1+2k)=0,
令|2x-1|=t,則方程可化為t2-(2+3k)t+2(1+2k)=0(t≥0),
關(guān)于x的方程f(|2x-1|)+k(2-3|2x-1|)=0有3個不同的實數(shù)解,
結(jié)合t=|2x-1|的圖象(如右圖)可知,
方程t2-(2+3k)t+2(1+2k)=0有兩個根t1,t2,
且0<t1<1<t2或0<t1<1,t2=1,或0<t1<1,t2=0,
記h(t)=t2-(2+3k)t+2(1+2k),
{h0=21+2k0h1=1+k0{h0=21+2k0h1=1+k=002+3k21{1+2k=002+3k1
即有k∈∅或k=-12
解得k=-12

點評 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性,二次函數(shù)零點分布與系數(shù)的關(guān)系,屬于中檔題.

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