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16.在△AOB中,OA=1,OB=2,∠AOB=120°,MN是過點O的一條線段,且OM=ON=3,若\overrightarrow{OC}=2λ\overrightarrow{OA}+2(1-λ)\overrightarrow{OB},(λ∈R),則\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{CN}的最小值為-\frac{60}{7}

分析 問題轉(zhuǎn)化為求{\overrightarrow{OC}}^{2}的最小值,通過解三角形求出即可.

解答 解:由題意可得\overrightarrow{CM}\overrightarrow{CN}=(\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OC})•(\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OC})=\overrightarrow{OM}\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OC}•(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON})+{\overrightarrow{OC}}^{2}
由于MN是過點O的一條線段,且OM=ON=3,
\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{0}\overrightarrow{OM}\overrightarrow{ON}=-3×3=-9,
要求\overrightarrow{CM}\overrightarrow{CN}最小值,問題就是求OC2的最小值,
因為C在AB線段上,如圖示:

那么OC⊥AB時,|\overrightarrow{OC}|最小,
由AB2=1+4+2=7,得AB=\sqrt{7},
∴OC2=4-BC2=1-{(\sqrt{7}-BC)}^{2},解得BC=\frac{5}{\sqrt{7}},
∴OC2=\frac{3}{7}
∴則\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{CN}的最小值是-9+\frac{3}{7}=-\frac{60}{7},
故答案為:-\frac{60}{7}

點評 本題主要考查兩個向量的加減法的法則,以及其幾何意義,兩個向量的數(shù)量積的運算,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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