Question

【題目】如圖，在四棱錐，平面，，，且，，.

（1）取中點，求證：平面；

（2）求直線與所成角的余弦值.

（3）在線段上，是否存在一點，使得二面角的大小為，如果存在，求與平面所成角，如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2) (3)見解析

【解析】

試題分析：（1）建立如圖所示的坐標系，先求的方向向量，再出利用向量垂直數(shù)量積為零，列方程組求出平面的法向量，由可得結果；（2）分別求出直線與的方向向量，利用空間向量夾角余弦公式可得直線與所成角的余弦值（結果注意取絕對值）；（3），，分別根據(jù)向量垂直數(shù)量積為零列方程組求出平面與平面的一個法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式，可得，從而可確定的坐標，利用可得結果.

試題解析：如圖建系：

，，，，，

（1）中點，

∴，

設平面的法向量為，由，，

可得：，∴，∵平面，

∴平面.

（2），，

∴.

（3）設及，

∴ ，

設平面的法向量為，

由，可得，

平面的法向量為，

∴ ，

解得.

∴，∴，，

∴ ，∴.