Question

已知函數(shù)f（x）=

ex

x2-ax+a

（1）當0≤a≤4時，試判斷函數(shù)f（x）的單調性；
（2）當a=0時，對于任意的x∈（1，t]，恒有tf（x）-xf（t）≥f（x）-f（t），求t的最大值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出導數(shù)，f′(x)=

ex[x2-(a+2)x+2a]

(x2-ax+a)2

=

ex(x-a)(x-2)

(x2-ax+a)2

分類討論判斷單調性，
（2）把不等式tf（x）-xf（t）≥f（x）-f（t），轉化為

f(x)

x-1

≥

f(t)

t-1

，
構造函數(shù)g(x)=

f(x)

x-1

=

ex

x2(x-1)

，即證明g（t）為g（x）的最小值，即可求出t的范圍．

解答： 解：（1）f′(x)=

ex[x2-(a+2)x+2a]

(x2-ax+a)2

=

ex(x-a)(x-2)

(x2-ax+a)2

當a=0時，f(x)=

ex

x2

，f′(x)=

ex(x-2)

x3

，
故f（x）在區(qū)間（-∞，0），（2，+∞）上單調遞增，在（0，2）上單調遞減；
當a=4時，f(x)=

ex

(x-2)2

，f′(x)=

ex(x-4)

(x-2)3

，
故f（x）在區(qū)間（-∞，2），（4，+∞）上單調遞增，在（2，4）上單調遞減；
當0＜a＜4時，恒有x²-ax+a＜0，
當0＜a＜2時，f（x）在（-∞，a），（2，+∞）上單調遞增，在（a，2）上單調遞減；
當a=2時，f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上單調遞增
當2＜a＜4時，f（x）在（-∞，2），（a，+∞）上單調遞增，在（2，a）上單調遞減；
（2）tf（x）-xf（t）≥f（x）-f（t）
（t-1）f（x）≥（x-1）f（t）

f(x)

x-1

≥

f(t)

t-1

解法一：設函數(shù)g(x)=

f(x)

x-1

=

ex

x2(x-1)

，
即g（x）≥g（t）在（1，t]上恒成立．
即g（t）為g（x）的最小值．
g′(x)=

ex(x2-4x+2)

x3(x-1)2

．
故g（x）在區(qū)間(1，2+

2

)上單調遞減，在區(qū)間(2+

2

，+∞)單調遞增．
故t≤2+

2

，tmax=2+

2

解法二：

f(x)

x-1

≥

f(t)

t-1

即（x，f（x））與點（1，0）連線斜率的最小值在x=t時取到．
設t_max=t
則

f(t)

t-1

=f′(t)，
即

et

t2(t-1)

=

et(t-2)

t3

t²-4t+2=0，即t=2±

2

，
又t＞1，
故t=2+

2

點評：本題綜合考察了導數(shù)在證明單調性，證明不等式，求解函數(shù)最值中的應用，屬于難題．