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19.已知橢圓mx2+5y2=5m(m>0)的離心率為e=105,求m的值,并求橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo).

分析 將橢圓方程轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程:x25+y2m=1,由當(dāng)0<m<5時(shí),橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,及當(dāng)m>5時(shí),橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,根據(jù)橢圓的性質(zhì),即可求得m的值,橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo).

解答 解:由橢圓方程:mx2+5y2=5m,即x25+y2m=1,
當(dāng)0<m<5時(shí),橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,
c=5m
e=ca=5m5=105,解的:m=3,
∴橢圓方程:x25+y23=1,
∴橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為25,短軸長(zhǎng)為23,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),(2,0),
頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-5,0)(5,0),(0,-3),(0,3);
當(dāng)m>5時(shí),橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,
c=m5
e=ca=m5m=105,解得:m=253
∴橢圓方程為:x25+y2253=1,
∴橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為1033,短軸長(zhǎng)為25,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-303),(0,303),
頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-5,0)(5,0),(0,-533),(0,533).

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的性質(zhì),考查分類討論思想,屬于中檔題.

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③方程2x2-x+1=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線離心率;
④過雙曲線x2y22=1的右焦點(diǎn)F作直線l交雙曲線與A,B兩點(diǎn),若|AB|=4,則這樣的直線l有且僅有3條.
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