Question

已知定點F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），動點P（x，y），且滿足|PF₁|，|F₁F₂|，|PF₂|成等差數(shù)列．
（Ⅰ） 求點P的軌跡C₁的方程；
（Ⅱ） 若曲線C₂的方程為（x-t）²+y²=（t²+2t）²（0＜t≤

2

2

），過點A（-2，0）的直線l與曲線C₂相切，求直線l被曲線C₁截得的線段長的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由題意，可得出），|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|，根據(jù)橢圓的定義可知，點P的軌跡是橢圓，由此即可求出軌跡方程；
（II）由題意，可設(shè)出直線l的方程，由于其與圓C₂相切，由相切關(guān)系可得出斜率k所滿足的方程，再將直線方程與（I）中所求的軌跡方程聯(lián)立，由弦長公式求出直線截曲線C₁截得的線段的長的表達式，再根據(jù)所得表達式求其最值即可．

解答： 解：（Ⅰ）由F₁=（-1，0），F(xiàn)₂=（1，0），|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|…（1分）
根據(jù)橢圓定義知P的軌跡為以F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓，
其長軸2a=4，焦距2c=2，短半軸b=

a2-c2

=

3

，故C₁的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)l：y=k（x+2），由過點A（-2，0）的直線l與曲線C₂相切得

|k(t+2)|

k2+1

=t(t+2)，
化簡得t=

|k|

k2+1

，t∈（0，

2

2

]（注：本處也可由幾何意義求k與t的關(guān)系）…（6分）
由0＜t=

|k|

k2+1

＜

2

2

，解得0≤k²≤1…（7分）
聯(lián)立

y=k(x+2) x2 4 + y2 3 =1

，消去y整理得（4k²+3）x²+16k²x+16k²-12=0，…（8分）
直線l被曲線C₁截得的線段一端點為A（-2，0），
設(shè)另一端點為B，解方程可得B（

-2(4k2-3)

4k2+3

，

12k

4k2+3

），
所以|AB|=

( -2(4k2-3) 4k2+3 +2)2+( 12k 4k2+3 )2

=

12 k2+1

4k2+3

…（11分）
（注：本處也可由弦長公式結(jié)合韋達定理求得）
令

k2+1

=n，則|AB|=

12n

4n2-1

=

12

4n- 1 n

，n∈(1，

2

]，
考查函數(shù)y=4n-

1

n

的性質(zhì)知y=4n-

1

n

在區(qū)間（1，

2

]上是增函數(shù)，
所以n=

2

時，y=4n-

1

n

取最大值

7 2

2

，從而|AB|_min=

12

7 2 2

=

12 2

7

．…（14分）

點評：本題考查定義法求軌跡方程，直線與圓相切的位置關(guān)系，弦長公式的應(yīng)用，利用基本不等式求最值的方法，綜合性強，運算量大，此類題的解答要注意方程思想的運用，轉(zhuǎn)化與化歸思想的運用