Question

已知拋物線y²=4x，過(guò)點(diǎn)P（2，1）的直線l與拋物線交于兩點(diǎn)A，B，且點(diǎn)P（2，1）為弦AB的中點(diǎn)．
（1）求直線l的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)P（2，1）分別作斜率為k₁，k₂的兩不同的直線l₁，l₂，若直線l₁交拋物線于A₁，B₁，直線l₂交拋物線于A₂，B₂，且

PA1

•

PB1

=

PA2

•

PB2

，求證：k₁+k₂的值為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）利用“點(diǎn)差法”即可得出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式即可得出；
（2）把直線參數(shù)方程代入拋物線方程，利用參數(shù)的幾何意義即可求出．

解答： （1）解：設(shè)交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵點(diǎn)P（2，1）為弦AB的中點(diǎn)，
∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入拋物線y²=4x，
得

y12=4x1  y22=4x2

，∴（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴2（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），∴k=

y1-y2

x1-x2

=2，
∴直線l的方程為：y-1=2（x-2），整理得：2x-y-3=0．
（2）證明：∵點(diǎn)P（2，1），設(shè)直線l₁，l₂的傾斜角分別為α，β，
則k₁=tanα，k₂=tanβ，且α，β∈(0，

π

2

)∪(

π

2

，π)，
則l₁的參數(shù)方程為

x=2+tcosα y=1+tsinα

，
代入拋物線方程得（1+tsinα）²=4（2+tcosα），
整理得t²sin²α+（2sinα-4cosα）t-7=0，
∵△=（2sinα-4cosα）²+28sin²α＞0，
∴t₁t₂=

-7

sin2α

=

P1A1

•

P1B1

，
同理

-7

sin2β

=

P1A2

•

P1B2

，
∵

PA1

•

PB1

=

PA2

•

PB2

，
∴sin²α=sin²β，
∴sinα=sinβ，∵α≠β，∴α=π-β，
∴k₁+k₂=tanα+tanβ=-tanβ+tanβ=0．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握“點(diǎn)差法”直線的點(diǎn)斜式、直線與拋物線相交問(wèn)題的解題模式、根與系數(shù)的關(guān)系、直線參數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．