Question

已知在一個(gè)極坐標(biāo)系中點(diǎn)C的極坐標(biāo)為(2，

π

3

)．
（1）求出以C為圓心，半徑長為2的圓的極坐標(biāo)方程（寫出解題過程）并畫出圖形
（2）在直角坐標(biāo)系中，以圓C所在極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P是圓C上任意一點(diǎn)，Q(5，-

3

)，M是線段PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡的普通方程．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）如圖，設(shè)圓C上任意一點(diǎn)A(ρ，θ)，則∠AOC=θ-

π

3

或

π

3

-θ．由余弦定理得：4+ρ2-4cos(θ-

π

3

)=4，化簡即可得出．
（2）利用圓的方程、中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)M的參數(shù)方程

x= 6+2cosα 2 y= 2sinα 2

，消去參數(shù)即可得到普通方程．

解答： 解：（1）如圖，設(shè)圓C上任意一點(diǎn)A(ρ，θ)，則∠AOC=θ-

π

3

或

π

3

-θ．
由余弦定理得：4+ρ2-4cos(θ-

π

3

)=4，
∴圓C的極坐標(biāo)方程ρ=4cos(θ-

π

3

)．
（2）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，

3

)，可設(shè)圓C上任意一點(diǎn)P(1+2cosα，

3

+2sinα)
又令M（x，y）由Q(5，-

3

)，M是線段PQ的中點(diǎn)．
∴M的參數(shù)方程為：

x= 6+2cosα 2 y= 2sinα 2

⇒

x=3+cosα y=sinα

(α為參數(shù))．
∴點(diǎn)M的軌跡的普通方程為：（x-3）²+y²=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程、中點(diǎn)坐標(biāo)方程、余弦定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．