Question

已知函數(shù)g（x）=

ax

x+1

（a∈R），f（x）=ln（x+1）+g（x）．
（1）若函數(shù)g（x）過點(diǎn)（1，1），求函數(shù)f（x）的圖象在x=0處的切線方程；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：分類討論,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）代入點(diǎn)（1，1），求得a=2，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，即可得到切線方程；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，當(dāng)a≥0時(shí)，當(dāng)a＜0時(shí)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間．

解答： 解：（1）函數(shù)g（x）=

ax

x+1

過點(diǎn)（1，1），
則有1=

a

2

，即a=2，
f（x）=ln（x+1）+g（x）=ln（x+1）+

2x

x+1

，
f′（x）=

1

x+1

+

2

(x+1)2

，
則函數(shù)f（x）的圖象在x=0處的切線斜率為3，
切點(diǎn)為（0，0），
即有函數(shù)f（x）的圖象在x=0處的切線方程為y=3x；
（2）f（x）=ln（x+1）+

ax

x+1

，
f′（x）=

1

x+1

+

a

(x+1)2

=

x+1+a

(x+1)2

，
由x+1＞0，解得x＞-1，
當(dāng)a≥0時(shí)，x＞-1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)a＜0時(shí)，x＞-1-a時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，
當(dāng)-1＜x＜-1-a時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
綜上可得，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（-1，+∞）；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（-1-a，+∞），減區(qū)間為（-1，-1-a）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．