Question

【題目】已知函數(shù)

若曲線在點 處的切線與直線 垂直，求實數(shù)的值；

（Ⅱ）討論函數(shù) 的單調(diào)性；

（Ⅲ）當(dāng) 時，記函數(shù) 的最小值為 ，求證：；

Answer 1

【答案】(1) 或.

(2) 時, 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減; 當(dāng)時, 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

(3)證明見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）求出，根據(jù)可求得實數(shù)的值；（Ⅱ）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)時，函數(shù)的最小值，故，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得當(dāng)時，，從而可得結(jié)果.

詳解：（Ⅰ）由已知可知的定義域為，

根據(jù)題意可得，

或

（Ⅱ）

①時，由可得

由可得

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

②當(dāng)時，

由可得

由可得

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)時，函數(shù)的最小值

故

則

令可得

當(dāng)變化時，的變化情況如表：

	-	0	-
	增	極大值	減

是在上的唯一的極大值，從而是的最大值點，

當(dāng)時，

時，