考點:數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)由等差數(shù)列的項a
1,a
2,a
4成等比數(shù)列列式得到a
1=d,把數(shù)列{a
n}的通項用a
1表示后代入b
n=
,由等比數(shù)列的定義證得{b
n}為等比數(shù)例;
(2)求出無窮數(shù)例{b
n}的前n項和,取極限得到所有項和,由各項的和S=
求得數(shù)列{a
n}的首項a
1和公差d;
(3)求出{a
n}的通項公式,代入c
n=a
n+1,求出c
m+c
m+1,由c
m+c
m+1=c
k不能得到自然數(shù)k.
解答:
證明:(1)由{a
n}是各項為正數(shù)的等差數(shù)例,且a
1,a
2,a
4成等比數(shù)例,
得
(a1+d)2=a1(a1+3d),即a
1=d,
∴a
n=a
1+(n-1)d=na
1,
∴b
n=
=
,
則
==.
∴{b
n}為等比數(shù)例;
(2)由
b1=,且數(shù)列{b
n}是公比為
等比數(shù)列,
則
Sn==
(1-),
則
(1-)==,
∴a
1=d=3;
(3)a
n=a
1+(n-1)d=3+3(n-1)=3n,
則c
n=3n+1.
c
m+c
m+1=3m+1+3(m+1)+1=6m+5.
由c
k=3k+1=6m+5,得k=
2m+,
∵m∈N,
∴k=
2m+∉N,
∴不存在m,k∈N,有c
m+c
m+1=c
k成立.
點評:本題考查了等比關(guān)系的求得,考查了等比數(shù)列的和,考查了數(shù)列極限的求法,是中檔題.