Question

已知{a_n}是各項為正數(shù)的等差數(shù)列，a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列．令b_n=

1

a2n

，n=1，2，3…．
（1）證明{b_n}為等比數(shù)列；
（2）如果無窮數(shù)列{b_n}各項的和S=

1

3

，求數(shù)列{a_n}的首項a₁和公差d；
（3）在（2）的條件下令c_n=a_n+1，是否存在m，k∈N，有c_m+c_m+1=c_k？說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由等差數(shù)列的項a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列列式得到a₁=d，把數(shù)列{a_n}的通項用a₁表示后代入b_n=

1

a2n

，由等比數(shù)列的定義證得{b_n}為等比數(shù)例；
（2）求出無窮數(shù)例{b_n}的前n項和，取極限得到所有項和，由各項的和S=

1

3

求得數(shù)列{a_n}的首項a₁和公差d；
（3）求出{a_n}的通項公式，代入c_n=a_n+1，求出c_m+c_m+1，由c_m+c_m+1=c_k不能得到自然數(shù)k．

解答： 證明：（1）由{a_n}是各項為正數(shù)的等差數(shù)例，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)例，
得(a1+d)2=a1(a1+3d)，即a₁=d，
∴a_n=a₁+（n-1）d=na₁，
∴b_n=

1

a2n

=

1

2na1

，
則

bn+1

bn

=

1 2n+1a1

1 2na1

=

1

2

．
∴{b_n}為等比數(shù)例；
（2）由b1=

1

2a1

，且數(shù)列{b_n}是公比為

1

2

等比數(shù)列，
則Sn=

1 2a1 (1- 1 2n )

1- 1 2

=

1

a1

(1-

1

2n

)，
則

lim

n→∞

1

a1

(1-

1

2n

)=

1

a1

=

1

3

，
∴a₁=d=3；
（3）a_n=a₁+（n-1）d=3+3（n-1）=3n，
則c_n=3n+1．
c_m+c_m+1=3m+1+3（m+1）+1=6m+5．
由c_k=3k+1=6m+5，得k=2m+

2

3

，
∵m∈N，
∴k=2m+

2

3

∉N，
∴不存在m，k∈N，有c_m+c_m+1=c_k成立．

點評：本題考查了等比關(guān)系的求得，考查了等比數(shù)列的和，考查了數(shù)列極限的求法，是中檔題．