Question

已知函數(shù)f（x）=lg

1+2xa

2

（a∈R）．
（1）試確定f（x）的定義域；
（2）如果函數(shù)F（x）=2f（x）-f（2x）有兩個不同的零點，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由 函數(shù)f（x）的解析式可得 1+2^x•a＞0，分當(dāng)a≥0時，和當(dāng)a＜0時兩種情況，分別求得f（x）的定義域．
（2）由題意可得2f（x）=f（2x）有兩個不同的實數(shù)根，即（a²-2a）2^2x+2a•2^x-1=0 有兩個不同的實數(shù)根，及方程（a²-2a）t²+2a•t-1=0 關(guān)于變量t有兩個不同的正實數(shù)根，由△＞0，且兩根之和大于0，兩根之積大于0，求得a的范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=lg

1+2xa

2

（a∈R），∴1+2^x•a＞0，
∴當(dāng)a≥0時，1+2^x•a＞0 恒成立，f（x）的定義域為R；
當(dāng)a＜0時，由2^x＞-

1

a

，求得 x＞log2(-

1

a

)，f（x）的定義域為（log2(-

1

a

)，+∞）．
（2）由題意可得2f（x）=f（2x）有兩個不同的實數(shù)根，即lg (

1+a•2x

2

)2=lg

1+2•22x

2

 有兩個不同的實數(shù)根，
即  (

1+a•2x

2

)2=

1+2•22x

2

 有兩個不同的實數(shù)根，即（a²-2a）2^2x+2a•2^x-1=0 有兩個不同的實數(shù)根，
令t=2^x＞0，則有（a²-2a）t²+2a•t-1=0 關(guān)于變量t有兩個不同的實數(shù)根，
∴△=8a（a-1）＞0，且兩根之和

2a

2a-a2

＞0，兩根之積

-1

a2-2a

＞0，求得1＜a＜2，
綜上可得，a的范圍為{a|1＜a＜2}．

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的定義域，方程根的存在性及個數(shù)判斷，體現(xiàn)了分類討論、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．