Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA₁=6，點E、F分別在棱BB₁、CC₁上，且BE=

1

3

BB₁，C₁F=

1

3

CC₁．
（1）求異面直線AE與A₁ F所成角的大��；
（2）求平面AEF與平面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線AE與A₁F所成角．
（2）求出平面AEF和平面ABC的法向量，利用向量法能求出平面AEF與平面ABC所成角的余弦值．

解答： 解：（1）建立如圖所示的直角坐標系，
則A（0，0，0），E（2，0，2），A₁（0，0，6），F(xiàn)（0，2，4），
從而

AE

=（2，0，2），

A1F

=（0，2，-2）．…2分
記

AE

與

A1F

的夾角為θ，則有：
cosθ=cos＜

AE

，

A1F

＞

-4

8 • 8

=-

1

2

．
由異面直線AE與A₁F所成角的范圍為（0，π），
得異面直線AE與A₁F所成角為60°．…4分
（2）記平面AEF和平面ABC的法向量分別為

n

和

m

，
則由題設(shè)可令

n

=（x，y，z），且有平面ABC的法向量為

m

=

AA1

=(0，0，6)，

AF

=(0，2，4)，

AE

=(2，0，2)．
由

n • AF =2y+4z=0 m • AE =2x+2z=0

，取x=1，得

n

=（1，2，-1）．…8分
記平面AEF與平面ABC所成的角為β，
則cosβ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

-6

6 •6

|=

6

6

．
∴平面AEF與平面ABC所成角的余弦值為

6

6

．…10分．

點評：本題考查異面直線所成角的大小的求法，考查平面與平面所成角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．