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12.已知函數(shù)f(x)=|x-1|-|2x+3|.
(I)解不等式f(x)>2;
(II)若關(guān)于x的不等式f(x)≤32a2-a的解集為R,求正數(shù)a的取值范圍.

分析 (Ⅰ)通過討論x的范圍,解不等式,求出不等式的解集即可;
(Ⅱ)求出f(x)的最大值,問題轉(zhuǎn)化為32a2-a≥52,求出a的范圍即可.

解答 解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)=|x-1|-|2x+3|={x+4x323x232x1x4x1,
當(dāng)x≤-32時(shí),由x+4>2,解得:x>-2,即-2<x≤-32;
當(dāng)-32<x<1時(shí),由-3x-2>2,解得:x<2,即-32<x<-43;
當(dāng)x≥1時(shí),由-x-4>2,解得:x<-6,無解;
所以原不等式的解集為{x|-2<x<-43};
(Ⅱ)由(Ⅰ)知函數(shù)f(x)在x=-32處取函數(shù)的最大值f(-32)=52,
要使關(guān)于x的不等式f(x)≤32a2-a的解集為R,只需32a2-a≥52
即3a2-2a-5≥0,解得a≤-1或a≥53,
又a為正數(shù),則a≥53

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問題,考查函數(shù)恒成立問題,是一道中檔題.

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