Question

4．已知函數(shù)f（x）=sin2x+2cos²x-1，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\begin{array}{l}{-\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}}\end{array}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期．
（2）函數(shù)f（x）x在區(qū)間[$\begin{array}{l}{-\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}}\end{array}$]上時，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的取值最大和最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=sin2x+2cos²x-1，x∈R．
化簡可得：f（x）=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}}\end{array}$）．
（1）函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$．
（2）x在區(qū)間[$\begin{array}{l}{-\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}}\end{array}$]上，即$\begin{array}{l}{-\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{4}}\end{array}$，
那么：$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}}\end{array}$≤$\frac{5π}{4}$
根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可知：
當2x+$\frac{π}{4}}\end{array}$=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)f（x）取得最大值為f（$\frac{π}{2}$）_max=$\sqrt{2}$．
當2x+$\frac{π}{4}}\end{array}$=$\frac{5π}{4}$時，函數(shù)f（x）取得最大值為f（$\frac{5π}{4}$）min=-1．
故得函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\begin{array}{l}{-\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}}\end{array}$]上的最大值為$\sqrt{2}$，最小值為-1．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．