Question

已知橢圓C過點(diǎn)A（1，

3

2

），兩焦點(diǎn)為F₁（-

3

，0）、F₂（

3

，0），O是坐標(biāo)原點(diǎn)，不經(jīng)過原點(diǎn)的直線l：y=kx+m與該橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)P、Q，且直線OP、PQ、OQ的斜率依次成等比數(shù)列．
（1）求橢圓C的方程；     
（2）求直線l的斜率k；
（3）求△OPQ面積的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得c=

3

，設(shè)橢圓方程為

x2

b2+3

+

y2

b2

=1，則

1

b2+3

+

3

4b2

=1，由此能求出橢圓C的方程．
（2）由

y=kx+m x2+4y2-4=0

，得：（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、等比數(shù)列結(jié)合已知條件能求出k．
（3）直線OQ的斜率存在且不為0，及△＞0，得0＜m²＜2，且m≠1，求出點(diǎn)O到直線l的距離，由此能求出S_△OPQ的取值范圍．

解答： 解：（1）∵橢圓C過點(diǎn)A（1，

3

2

），兩焦點(diǎn)為F₁（-

3

，0）、F₂（

3

，0），
∴c=

3

，設(shè)橢圓方程為

x2

b2+3

+

y2

b2

=1…（2分）
則

1

b2+3

+

3

4b2

=1，
解得b²=1，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．…（4分）
（2）由

y=kx+m x2+4y2-4=0

，消去y得：（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0…（6分）
則△=64k²m²-16（1+4k²）（m²-1）
=16（4k²-m²+1）＞0，
x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4(m2-1)

1+4k2

，
故y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2…（8分）
∵直線OP、PQ、OQ的斜率依次成等比數(shù)列，
∴

y1

x1

•

y2

x2

=

k2x1x2+km(x1+x2)+m2

x1x2

=k2⇒km(x1+x2)+m2=0⇒-

8k2m2

1+4k2

+m2=0，
由于m≠0，故k2=

1

4

⇒k=±

1

2

，
∴直線l的斜率k為±

1

2

．…（10分）
（3）∵直線OQ的斜率存在且不為0，及△＞0
∴0＜m²＜2，且m≠1．…（12分）
設(shè)d為點(diǎn)O到直線l的距離，
則S△OPQ=

1

2

d|PQ|═

1

2

•

|m|

1+k2

1+k2

|x1-x2|
=

1

2

|m|

(x1+x2)2-4x1x2

=

m2(2-m2)

…（14分）
則S_△OPQ＜

m2+2-m2

2

=1，
∴S_△OPQ的取值范圍為（0，1）．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線的斜率的求法，考查三角形面積的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意弦長公式的合理運(yùn)用．