Question

【題目】AB為過拋物線焦點(diǎn)F的弦，P為AB中點(diǎn)，A、B、P在準(zhǔn)線l上射影分別為M、N、Q，則下列命題： 以AB為直徑作圓，則此圓與準(zhǔn)線l相交；；；；、O、N三點(diǎn)共線為原點(diǎn)，正確的是______ ．

Answer 1

【答案】②③④⑤

【解析】

根據(jù)拋物線的定義，可知AP+BP＝AM+BN，從而，所以以AB為直徑作圓則此圓與準(zhǔn)線l相切，故可判斷①錯(cuò)，③對(duì)；由AP＝AF可知∠AMF＝∠AFM，同理∠BFN＝∠BNF，利用AM∥BN，可得MF⊥NF，從而可判斷②④正確；

對(duì)于 ⑤，不妨設(shè)拋物線方程為y2＝2px，直線AB：，從而可證明kOA＝kON，故可判斷．

解：由題意，AP+BP＝AM+BN

∴，∴以AB為直徑作圓則此圓與準(zhǔn)線l相切，故①錯(cuò)，③對(duì)；

由AP＝AF可知∠AMF＝∠AFM，同理∠BFN＝∠BNF，利用AM∥BN，可得MF⊥NF，從而②④正確；

對(duì)于 ⑤，不妨設(shè)拋物線方程為y2＝2px，直線AB：

聯(lián)立可得y2﹣2kpy﹣p2＝0

設(shè)，，則

∴，

∵y1y2＝﹣p2，∴kOA＝kON，故⑤正確

故答案為②③④⑤