已知函數(shù)f（x）=x+
a
x
，其中a為實(shí)常數(shù)，試討論f（x）的單調(diào)性，并用函數(shù)的單調(diào)性證明之．
考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明
專題：
分析：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可得到結(jié)論．
解答： 解：當(dāng)a=0時，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)增；
當(dāng)a＞0時，f（x）在(-∞，-
a
]及[
a
，+∞)都單調(diào)增，在(-
a
，0)及(0，
a
]上都單調(diào)減；
當(dāng)a＜0時，f（x）在（-∞，0）及（0，+∞）都單調(diào)增．
∵函數(shù)是奇函數(shù)，∴只需證明當(dāng)x＞0時的單調(diào)性即可，
任意設(shè)0＜x1＜x2，
則f（x1）-f（x2）=x1-x2+
a
x1
-
a
x2
=（x1-x2）+
a(x2-x1)
x1x2
=（x1-x2）
x1x2-a
x1x2
，
若
a
≤x1＜x2，則x1x2＞
a
•
a
=a，即
∴x1-x2＜0，x1x2-a＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），此時函數(shù)單調(diào)遞增．
若0＜x1＜x2≤
a
，則x1x2＜
a
a
=a，即
∴x1-x2＜0，x1x2-a＜0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＜f（x2），此時函數(shù)單調(diào)遞減．
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，利用函數(shù)單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量|
a
|=1，|
b
|=1，
（1）若
a
-2
b
與
a
垂直，求
a
與
b
的夾角；
（2）若
a
⊥
b
，且
c
=
a
+2x
b
，
d
=3x
a
+2
b
，若
c
，
d
的夾角為鈍角，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
-x3+x2，x＜1
alnx，x≥1
，其中a為實(shí)常數(shù)，且a≠0．
（Ⅰ）若a≤-1，證明：當(dāng)x≥1時，f（x）≥（a+2）x-x2；
（Ⅱ）設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，若在函數(shù)y=f（x）的圖象上總存在不同兩點(diǎn)A，B，使OA⊥OB，且線段AB的中點(diǎn)在y軸上，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn，且Sn=
5
2
n2-
3
2
n（n∈N*），bn=
1
5
（an+4）．
（1）求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式，并證明{an}是等差數(shù)列
（2）證明不等式
5amn
-
aman
＞1對任意m、n∈N*都成立
（3）若數(shù)列dn=3bn+（-1）n-1•λ•2bn（n∈N*），問是否存在非零整數(shù)λ，使得對于任意正整數(shù)n，都有dn+1＞dn？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，有一塊邊長為6m的正方形鐵板，現(xiàn)從鐵板的四個角各截去一個邊長為x的小正方形，做成一個長方形的無蓋容器．

（Ⅰ）求這個容器的容積V（x）；
（Ⅱ）為使其容積V（x）最大，求截下的小正方形的邊長x的值及容積V（x）的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為e=
2
2
，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，
3
），且F2在線段PF1的中垂線上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）如果圓E：（x-
1
2
）2+y2=r2上的所有點(diǎn)都不在橢圓C的外部，求圓E的半徑r的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

四邊形ABCD與A′ABB′都是邊長為a的正方形，點(diǎn)E是A′A的中點(diǎn)，AA′⊥平面ABCD．
（1）求證：A′C∥平面BDE；
（2）求證：平面A′AC⊥平面BDE；
（3）求三棱錐A-BDE的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：拋物線y2=4x，直線l過定點(diǎn)Q（2，0）．
（Ⅰ）已知直線l與x軸不垂直且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若在x軸上存在一點(diǎn)E（m，0），使得直線AE與直線BE的傾斜角互補(bǔ)，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）已知直線l與x軸垂直，拋物線的一條切線與y軸和直線l分別交于M、N兩點(diǎn)，自點(diǎn)M引以QN為直徑的圓的切線，切點(diǎn)為T，證明：|MT|為定值，并求出該定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
a
=（sinx，2
3
sinx），
b
=（2cosx，sinx）定義f（x）=
a
•
b
-
3
．
（1）求f（x）的解析式；
（2）寫出f（x）的圖象是由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的？

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