Question

如圖所示，有一塊邊長(zhǎng)為6m的正方形鐵板，現(xiàn)從鐵板的四個(gè)角各截去一個(gè)邊長(zhǎng)為x的小正方形，做成一個(gè)長(zhǎng)方形的無(wú)蓋容器．

（Ⅰ）求這個(gè)容器的容積V（x）；
（Ⅱ）為使其容積V（x）最大，求截下的小正方形的邊長(zhǎng)x的值及容積V（x）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,基本不等式

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）無(wú)蓋容器的底邊長(zhǎng)為6-2x，無(wú)蓋容器的高為x，可得出容積V（x）與自變量x之間的關(guān)系式，由6-2x＞0，可求出v（x）的定義域；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)法，求出其函數(shù)值取最大值時(shí)，自變量x的值，即可得到要使無(wú)蓋容器的容積最大，無(wú)蓋容器的底邊長(zhǎng)．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，無(wú)蓋容器的底邊長(zhǎng)為6-2x，無(wú)蓋容器的高為x，
∴無(wú)蓋容器的容積是V（x）與x的函數(shù)關(guān)系式是：V（x）=（6-2x）²•x，且f（x）的定義域?yàn)椋?，3）
（Ⅱ）V′（x）=（6-2x）²•x=（6-2x）（6-6x），
令V′（x）=0，則x=1，或x=3（舍）
∵函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，3）上單調(diào)遞減
∴當(dāng)無(wú)蓋容器底面為1m時(shí)，無(wú)蓋容器的容積最大為16m³．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是設(shè)出自變量并根據(jù)已知條件確定出函數(shù)的解析式和定義域，將一個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題．