Question

已知{a_n}為等比數(shù)列且a_n＞0，a₁=1，a₅=256；S_n為等差數(shù)列{b_n}的前n項和，b₁=2，5S₅=2S₈．
（Ⅰ）求{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，求T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）直接利用a₁=1，a₅=256求出公比即可求出{a_n}的通項公式；把5S₅=2S₈轉化為用首項和公差來寫求出公差即可求{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）直接利用（1）的結論對數(shù)列{a_n•b_n}用錯位相減法求和即可求T_n．

解答： 解：（Ⅰ）設{a_n}的公比為q，由a₅=a₁q⁴得q=4，所以a_n=4^n-1．
設{ b_n }的公差為d，由5S₅=2 S₈得5（5 b₁+10d）=2（8 b₁+28d），
d=

3

2

a₁=

3

2

×2=3，所以b_n=b₁+（n-1）d=3n-1．
（Ⅱ）T_n=1•2+4•5+4²•8+…+4^n-1（3n-1），①
4T_n=4•2+4²•5+4³•8+…+4ⁿ（3n-1），②
②-①得：3T_n=-2-3（4+4²+…+4ⁿ）+4ⁿ（3n-1）
=-2+4（1-4^n-1）+4ⁿ（3n-1）=2+（3n-2）•4ⁿ
∴T_n=（n-

2

3

）4ⁿ+

2

3

．

點評：本題的第二問考查了數(shù)列求和的錯位相減法．錯位相減法適用于通項為一等差數(shù)列乘一等比數(shù)列組成的新數(shù)列．