Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx+cos2x+1．
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)在[-

π

6

，

π

6

]上的最小值，并寫出取最小值時相應(yīng)的x值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性,三角函數(shù)的最值

專題：計算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）運(yùn)用二倍角的正弦公式，兩角和的正弦公式，即可得到f（x），再由正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，解不等式即可得到；
（Ⅱ）由x的范圍，求得2x+

π

6

的范圍，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得到最小值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2

3

sinxcosx+cos2x+1=

3

sin2x+cos2x+1
=1+2sin（2x+

π

6

），令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，
解得，kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．    
（Ⅱ）因?yàn)?span id="ubtotgd" class="MathJye">-

π

6

≤x≤

π

6

，則-

π

6

≤2x+

π

6

≤

π

2

，
即有-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
即有0≤1+2sin（2x+

π

6

）≤3，
所以當(dāng)2x+

π

6

=-

π

6

，即x=-

π

6

時，函數(shù)f（x）取得最小值0．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的化簡和求值，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性和值域的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．