9.已知右焦點為F(c,0)的橢圓M:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1(a>0)關于直線x=c對稱的圖形過坐標原點.
(1)求橢圓M的方程;
(2)過點(4,0)且不垂直于y軸的直線與橢圓M交于P,Q兩點,點Q關于x軸的對稱原點為E,證明:直線PE與x軸的交點為F.

分析 (1)由題意可得:a=2c,又a2=3+c2,解得a2即可得出橢圓M的方程.
(2)設直線PQ的方程為:y=k(x-4)(k≠0),代入橢圓方程可得:(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0,設P(x1,y1),Q(x2,y2),E(x2,-y2),直線PE的方程為:y-y1=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$(x-x1),令y=0,可得x=-y1$•\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$+x1,把根與系數(shù)的關系代入即可證明.

解答 (1)解:由題意可得:a=2c,又a2=3+c2,解得a2=4.∴橢圓M的方程為:$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1.
(2)證明:設直線PQ的方程為:y=k(x-4)(k≠0),代入橢圓方程可得:(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0,
由△=(-32k22-4(3+4k2)(64k2-12)>0,解得k∈$(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$.設P(x1,y1),Q(x2,y2),E(x2,-y2),∴x1+x2=$\frac{32{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$,x1,•x2=$\frac{64{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$,則直線PE的方程為:y-y1=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$(x-x1),令y=0,可得x=-y1$•\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$+x1=$\frac{{x}_{1}k({x}_{2}-4)+{x}_{2}k({x}_{1}-4)}{k({x}_{1}+{x}_{2}-8)}$=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-4({x}_{1}+{x}_{2})}{{x}_{1}+{x}_{2}-8}$=$\frac{\frac{2(64{k}^{2}-12)}{3+4{k}^{2}}-4×\frac{32{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}}{\frac{32{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}-8}$=1,
∴直線PE與x軸的交點為F(1,0).

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關系,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

19.已知直線l1:ax+4y-2=0直線l2:2x+y+2=0,且兩條直線互相垂直.
(1)直線l1與l2的交點坐標;
(2)已知圓C:x2+y2+6x+8y+21=0,判斷直線l1與圓C有無公共點,有幾個公共點.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

20.函數(shù)f(x)=|x|+$\frac{a}{x^2}$(其中a∈R)的圖象不可能是( 。
A.B.
C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

17.已知集合A={x|(x+2)(x-6)<0},B={-3,5,6,8}則A∩B等于(  )
A.{-3,5}B.{-3}C.{5}D.?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

4.已知點$\overrightarrow{a}$=(3,m),$\overrightarrow$=(1,-2),若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+3$\overrightarrow$2=0,則實數(shù)m=9.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

14.已知,直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t+1}\end{array}\right.$(t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$(θ為參數(shù)).
(1)若在極坐標系與直角坐標系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸)中,點P的極坐標為(4,$\frac{π}{3}$),判斷點P與直線l的位置關系;
(2)設點Q是曲線C上的一個動點,求點Q到直線l的距離的最大值與最小值的和.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

1.已知函數(shù)f(x)=1+2cosxcos(x+3φ)是偶函數(shù),其中φ∈(0,$\frac{π}{2}$),則下列關于函數(shù)g(x)=cos(2x-φ)的正確描述是( 。
A.g(x)在區(qū)間[-$\frac{π}{12},\frac{π}{3}$]上的最小值為-1.
B.g(x)的圖象可由函數(shù)f(x)向上平移2個單位,在向右平移$\frac{π}{3}$個單位得到.
C.g(x)的圖象可由函數(shù)f(x)的圖象先向左平移$\frac{π}{3}$個單位得到.
D.g(x)的圖象可由函數(shù)f(x)的圖象先向右平移$\frac{π}{3}$個單位得到.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

18.若集合M={x∈N|1<x<7},N={x|$\frac{x}{3}$∉N},則M∩N等于( 。
A.{3,6}B.{4,5}C.{2,4,5}D.{2,4,5,7}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

19.某人在靜水中游泳的速度為$4\sqrt{3}$千米/時,他現(xiàn)在水流速度為4千米/時的河中游泳.
(Ⅰ)如果他垂直游向河對岸,那么他實際沿什么方向前進?實際前進的速度為多少?
(Ⅱ)他必須朝哪個方向游,才能沿與水流垂直的方向前進?實際前進的速度為多少?

查看答案和解析>>

同步練習冊答案