Question

9．已知右焦點為F（c，0）的橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1（a＞0）關于直線x=c對稱的圖形過坐標原點．
（1）求橢圓M的方程；
（2）過點（4，0）且不垂直于y軸的直線與橢圓M交于P，Q兩點，點Q關于x軸的對稱原點為E，證明：直線PE與x軸的交點為F．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：a=2c，又a²=3+c²，解得a²即可得出橢圓M的方程．
（2）設直線PQ的方程為：y=k（x-4）（k≠0），代入橢圓方程可得：（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），E（x₂，-y₂），直線PE的方程為：y-y₁=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$（x-x₁），令y=0，可得x=-y₁$•\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$+x₁，把根與系數(shù)的關系代入即可證明．

解答 （1）解：由題意可得：a=2c，又a²=3+c²，解得a²=4．∴橢圓M的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）證明：設直線PQ的方程為：y=k（x-4）（k≠0），代入橢圓方程可得：（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，
由△=（-32k²）²-4（3+4k²）（64k²-12）＞0，解得k∈$（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$．設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），E（x₂，-y₂），∴x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁，•x₂=$\frac{64{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，則直線PE的方程為：y-y₁=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$（x-x₁），令y=0，可得x=-y₁$•\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$+x₁=$\frac{{x}_{1}k（{x}_{2}-4）+{x}_{2}k（{x}_{1}-4）}{k（{x}_{1}+{x}_{2}-8）}$=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}-8}$=$\frac{\frac{2（64{k}^{2}-12）}{3+4{k}^{2}}-4×\frac{32{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}}{\frac{32{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}-8}$=1，
∴直線PE與x軸的交點為F（1，0）．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．