Question

【題目】

如圖，在三棱錐P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分別是AB，PB的中點．

（Ⅰ）求證：DE∥平面PAC．

（Ⅱ）求證：AB⊥PB；

（Ⅲ）若PC＝BC，求二面角P—AB—C的大小．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見答案；（Ⅱ）詳見答案；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）由于點D，E分別是AB，PB的中點，所以DE∥PA（中位線）．由直線與平面平行的判定方法知，DE∥平面PAC．

（Ⅱ）由PC⊥底面ABC得，．又因AB⊥BC，由直線與平面垂直的判定方法知，平面 ，所以AB⊥PB．

（Ⅲ）由（2）知，PB⊥AB，BC⊥AB，所以，∠PBC為二面角P—AB—C的平面角．易知為等腰直角三角形，所以∠PBC＝45°，即二面角P—AB—C的大小為.

（1）證明：因為D，E分別是AB，PB的中點，

所以DE∥PA．

因為PA平面PAC，且DE平面PAC，

所以DE∥平面PAC．

（2）因為PC⊥平面ABC，且AB平面ABC，

所以AB⊥PC．又因為AB⊥BC，且PC∩BC＝C．

所以AB⊥平面PBC．

又因為PB平面PBC，

所以AB⊥PB．

（3）由（2）知，PB⊥AB，BC⊥AB，

所以，∠PBC為二面角P—AB—C的平面角．

因為PC＝BC，∠PCB＝90°，

所以∠PBC＝45°，

所以二面角P—AB—C的大小為45°．