Question

在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=

9

2

，其前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，b₁=1，比為q，且S₂+b₃=21，S₂-b₃=q
（Ⅰ）求通項(xiàng)公式a_n與b_n；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n•S_n=1，求{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，建立方程組，求出公差和公比即可求通項(xiàng)公式a_n與b_n；
（Ⅱ）求出數(shù)列{c_n}的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)法即可求出{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)得的公差為d，
則S₂=2a₁+d=9+d，b₃=b₁q²=q²，
則

9+d+q2=21 9+d-q2=q

，解得q=3或q=-

7

2

（舍去），d=3，
則通項(xiàng)公式a_n=3n+

3

2

，b_n=3^n-1．
（Ⅱ）∵S_n=

n(a1+an)

2

=

3n(n+2)

2

，c_n•S_n=1，
∴c_n=

1

Sn

=

2

3

•

1

n(n+2)

=

1

3

（

1

n

-

1

n+2

），
則{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=

1

3

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）
=

1

3

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=

n(3n+5)

6(n+1)(n+2)

．

點(diǎn)評：本題主要考查得和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，以及利用裂項(xiàng)法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．