設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax-ln x.

(1)若a=1,試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

(2)過坐標原點O作曲線y=f(x)的切線,證明:切點的橫坐標為1.


 (1)解:a=1時,f(x)=x2+x-ln x(x>0),

所以f′(x)=2x+1-=,

x∈(0,),f′(x)<0,x∈(,+∞),f′(x)>0,

所以f(x)的減區(qū)間為(0,),增區(qū)間為(,+∞).

(2)證明:設(shè)切點為M(t,f(t)),f′(x)=2x+a-,

切線的斜率k=2t+a-,

又切線過原點k=,

=2t+a-,

即t2+at-ln t=2t2+at-1,

所以t2-1+ln t=0,

t=1滿足方程t2-1+ln t=0,

由y=1-x2,y=ln x圖象可知x2-1+ln x=0有唯一解x=1,切點的橫坐標為1.


練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


已知函數(shù)f(x)=若關(guān)于x的方程f(x)=k有兩個不同的實根,則實數(shù)k的取值范圍是　　　　. 

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曲線y=x3+x在點(1,)處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為(　)

(A)    (B)    (C)    (D)

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若函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d有極值,則導函數(shù)f′(x)的圖象不可能是(　　)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


設(shè)f(x)=-x3+x2+2ax.

(1)若f(x)在(,+∞)上存在單調(diào)遞增區(qū)間,求a的取值范圍;

(2)當0<a<2時,f(x)在[1,4]上的最小值為-,求f(x)在該區(qū)間上的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


一質(zhì)點運動時速度與時間的關(guān)系式為v(t)=t2-t+2,質(zhì)點做直線運動,則此質(zhì)點在時間[1,2]內(nèi)的位移為(　　)

(A)   (B)   (C)   (D)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


做變速直線運動的質(zhì)點的速度方程是v(t)=(單位:m/s).

(1)求該質(zhì)點從t=10 s到t=30 s時所走過的路程;

(2)求該質(zhì)點從開始運動到運動結(jié)束共走過的路程.

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