已知D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點，且BD=2AD，AE=2EC，點P是線段DE上的任意一點，若
AP
=x
AB
+y
AC
，則xy的最大值為（　　）
A、
1
36
B、
1
18
C、
1
12
D、
1
9
考點：基本不等式,平面向量的基本定理及其意義
專題：不等式的解法及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用
分析：如圖所示，
AD
=
1
3
AB
，
AE
=
2
3
AC
．由于點P是線段DE上的任意一點，利用向量共線定理可得：存在實數(shù)k使得
AP
=k
AD
+(1-k)
AE
=k•
1
3
AB
+
2(1-k)
3
AC
，與
AP
=x
AB
+y
AC
比較可得2x+y=
2
3
，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
解答： 解：如圖所示，
AD
=
1
3
AB
，
AE
=
2
3
AC
．
∵點P是線段DE上的任意一點，
∴存在實數(shù)k使得
AP
=k
AD
+(1-k)
AE
=k•
1
3
AB
+
2(1-k)
3
AC
，
與
AP
=x
AB
+y
AC
比較可得：
x=
1
3
k
y=
2(1-k)
3
，
∴2x+y=
2
3
，
∴
2
3
≥2
2xy
，
化為xy≤
1
18
，當(dāng)且僅當(dāng)2x=y=
1
3
時取等號．
故選：B．
點評：本題考查了向量共線定理、共面向量基本定理、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的右焦點F（2，0）作其中一條漸近線的垂線，垂直為E，O為坐標(biāo)原點，當(dāng)△OEF的面積最大時，雙曲線的離心率等于（　�。�
A、
2
B、
3
C、2
D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知實數(shù)2、t、8構(gòu)成一個等比數(shù)列，則圓錐曲線
x2
t
+y2=1的離心率為（　�。�
A、
3
2
B、
5
C、
3
2
或
5
D、
3
4
或5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系取相同的單位長度．已知曲線C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），過點P（-2，-4）的直線l的參數(shù)方程為
x=-2+
2
2
t
y=-4+
2
2
t.
(t為參數(shù))．直線l與曲線C分別交于M、N．
（Ⅰ）求a的取值范圍；
（Ⅱ）若|PM|、|MN|、|PN|成等比數(shù)列，求實數(shù)a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2-
x
）8展開式中各項系數(shù)的和為（　�。�
A、-1B、1
C、256D、-256

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線的頂點在原點，并經(jīng)過點Q（
3
2
，-4），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若a2+b2=2，求證：a+b≤2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

以下四個命題：
①在等差數(shù)列{an}中，Sn是其前n項和，則Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍成等差數(shù)列；
②在等比數(shù)列{an}中，Sn是其前n項和，則Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍成等比數(shù)列；
③函數(shù)y=x與y=sinx在（-
π
2
，
π
2
）上的圖象有3個不同的交點；
④命題甲：x≠2或y≠3；命題乙：x+y≠5，則甲是乙的必要不充分條件．
其中真命題的序號有
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某商場根據(jù)甲、乙兩種不同品牌的洗衣粉在周一至周五每天的銷量繪制成如圖所示的莖葉圖，則銷量的中位數(shù)較大的品牌是
 
．

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同步練習(xí)冊答案