Question

【題目】已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓過點(diǎn)，且它的離心率

（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）與圓相切的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若橢圓上一點(diǎn)滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意先設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)橢圓上的點(diǎn)及離心率可求出方程中的待定系數(shù)，進(jìn)而可得所求的方程；（2）由直線和圓相切可得(t≠0)，然后將直線方程代入橢圓方程后得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)根據(jù)系數(shù)的關(guān)系可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，代入橢圓方程后整理得到，根據(jù)的范圍可得，進(jìn)而得到所求范圍．

（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

由已知得解得

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）因?yàn)橹本�：y＝kx＋t與圓(x－1)2＋y2＝1相切，

所以＝1，

整理得(t≠0)．

由消去y整理得(3＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－24＝0，

因?yàn)橹本�與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，

所以，

將代入上式可得恒成立．

設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，

則有x1＋x2＝－，

所以y1＋y2＝kx1＋t＋kx2＋t＝k(x1＋x2)＋2t＝，

因?yàn)?/span> )，

所以可得C，

又因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓上，

所以＋＝1,

所以，

因?yàn)閠2＞0，所以＋＋1＞1，

所以，

所以的取值范圍為.