Question

給出下列四個(gè)命題中：
①命題：?x∈R，sinx+cosx=

3

； 
②?x∈（-∞，0），2^x＜3^x
③?x∈R，e^x≥x+1
④對(duì)?（x，y）∈{（x，y）|4x+3y-10=0}，則x²+y²≥4．
其中所有真命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，及存在性命題真假判斷的方法可判斷①；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，及不等式的基本性質(zhì)，可判斷②；構(gòu)造函數(shù)f（x）=e^x-（x+1），利用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的最值，可判斷③；根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，兩點(diǎn)之間的距離，可判斷④

解答： 解：對(duì)于①，∵sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)≤

2

，

3

＞

2

，故①錯(cuò)；
對(duì)于②，當(dāng)x∈（-∞，0），(

2

3

)x＞1，故2^x＞3^x，故②錯(cuò)；
對(duì)于③，設(shè)f（x）=e^x-（x+1），f'（x）=e^x-1，可知f（x）在（-∞，0）減，在（0，+∞）遞增，f（x）_min=f（0）=0； 故③正確；
對(duì)于④，x²+y²為原點(diǎn)到4x+3y-10=0上動(dòng)點(diǎn)的距離的平方，由原點(diǎn)到直線4x+3y-10=0的距離為2，故x²+y²≥4，故④正確．
故答案為：③④

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體考查了正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，不等式的基本性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的最值，點(diǎn)到直線的距離，兩點(diǎn)之間的距離，難度中檔．