Question

如圖，A，F(xiàn)分別是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a，b＞0)的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線l與C的一條漸近線垂直且與另一條漸近線和y軸分別交于P，Q兩點(diǎn)．若AP⊥AQ，則C的離心率是（　�。�

• A、

  2

• B、

  3

• C、

  1+ 13

  4

• D、

  1+ 17

  4

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：由已知條件求出直線l的方程為：y=-

a

b

x+

ac

b

，直線l：y=-

a

b

x+

ac

b

與y=-

b

a

x聯(lián)立，能求出P點(diǎn)坐標(biāo)，將x=0帶入直線l，能求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，由AP⊥AQ，知k_AP•k_AQ，由此入手能求出雙曲線的離心率．

解答： 解：∵A，F(xiàn)分別是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a，b＞0)的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)，
∴A（-a，0）F（c，0），
∵過(guò)F的直線l與C的一條漸近線垂直，
且與另一條漸近線和y軸分別交于P，Q兩點(diǎn)，
∴直線l的方程為：y=-

a

b

x+

ac

b

，
直線l：y=-

a

b

x+

ac

b

與y=-

b

a

x聯(lián)立：

y=- a b x+ ac b y=- b a x

，解得P點(diǎn)（

a2c

a2-b2

，

abc

b2-a2

）
將x=0帶入直線l：y=-

a

b

x+

ac

b

，得Q（0，

ac

b

），
∵AP⊥AQ，∴k_AP•k_AQ=

abc b2-a2

a2c a2-b2 +a

×

ac b

a

=-1，
化簡(jiǎn)得b²-ac-a²=-c²，
把b²=c²-a²代入，得2c²-2a²-ac=0
同除a²得2e²-2-e=0，
∴e=

1+ 17

4

，或e=

1- 17

4

（舍）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的離心率的求法，計(jì)算量較大，解題時(shí)要仔細(xì)解答，要熟練掌握雙曲線的性質(zhì)，是中檔題．