Question

求下列函數(shù)的值域．
（1）y=

cosx

2cosx+1

；
（2）y=

1+sinx

3+cosx

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）分離常數(shù)，借助三角函數(shù)的有界性求解．
（2）把函數(shù)y=

1+sinx

3+cosx

化成整式，化成asinx+bcosx的形式，借助三角函數(shù)的有界性求解．

解答： 解：（1）y=

cosx

2cosx+1

=

2cosx+1-1

2(2cosx+1)

=

1

2

-

1

2(2cosx+1)

，
∵-1≤cosx≤1，
∴-2≤4cosx+2＜0，或0＜4cosx+2≤6，
∴

1

4cosx+2

≤-

1

2

，或∴

1

4cosx+2

≥

1

6

，
∴

1

2

-

1

2(2cosx+1)

≥1，

1

2

-

1

2(2cosx+1)

≤

1

3

，
∴y=

cosx

2cosx+1

的值域?yàn)椋?∞，

1

3

]∪[1，+∞）
（2）解：∵y=

1+sinx

3+cosx

，
∴3y+ycosx=1+sinx，
即sinx-ycosx=3y-1，
∴

1+y2

sin（x+θ）=3y-1，
∴sin（x+θ）=

3y-1

1+y2

，
又-1≤sin（x+θ）≤1，∴-1≤

3y-1

1+y2

≤1
解得0≤y≤

3

4

，
即函數(shù)y=

1+sinx

3+cosx

的值域是[0，

3

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的最值，考查輔助角公式與正弦函數(shù)的有界性，考查轉(zhuǎn)化與方程思想，屬于中檔題．