Question

已知平面上的線段l及點(diǎn)P，任取l上一點(diǎn)Q，線段PQ長(zhǎng)度的最小值稱為點(diǎn)P到線段l的距離，記作d（P，l）
①若點(diǎn)P（1，1），線段l：x-y-3=0（3≤x≤5），則d（P，l）=

5

；
②設(shè)l是長(zhǎng)為2的定線段，則集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的圖形面積為4；
③若A（1，3），B（1，0），C（-1，3），D（-1，0），線段l₁：AB，l₂：CD，則到線段l₁，l₂距離相等的點(diǎn)的集合D={P|d（P，l₁）=d（P，l₂）}={（x，y）|x=0}；
④若A（-1，0），B（1，0），C（0，-1），D（0，1），線段l₁：AB，l₂：CD，則到線段l₁，l₂距離相等的點(diǎn)的集合D={P|d（P，l₁）=d（P，l₂）}={（x，y）|x²-y²=0}．
其中正確的有

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：集合的表示法

專題：綜合題,集合

分析：①根據(jù)所給的是一條線段，點(diǎn)到線段的距離不一定使用點(diǎn)到直線的距離公式得到，二是需要觀察過(guò)點(diǎn)做垂線，垂足是否落到線段上，結(jié)果不是落到線段上，所以用兩點(diǎn)之間的距離公式．
②由題意知集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的圖形是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和兩個(gè)半徑是1的半圓，做出面積．
③④根據(jù)所給的四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出兩條直線的方程，從直線方程中看出這兩條直線之間的平行關(guān)系，得到要求的結(jié)果．

解答： 解：①點(diǎn)P（1，1）到線段l：x-y-3=0（3≤x≤5）的距離
d（P，l）是點(diǎn)P到（3，0）的距離，d（P，l）=

5

，故①正確；
②由題意知集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的圖形是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和兩個(gè)半徑是1的半圓，
∴S=2²+π=4+π，故②錯(cuò)誤；
③A（1，3），B（1，0），C（-1，3），D（-1，0）．
利用兩點(diǎn)式寫出兩條直線的方程，AB：x=1，CD：x=-1，
到兩條線段l₁，l₂距離相等的點(diǎn)的集合Ω={P|d（P，l₁）=d（P，l₂）}，
根據(jù)兩條直線的方程可知兩條直線之間的關(guān)系是平行，
∴到兩條直線距離相等的點(diǎn)的集合是y軸，故③正確．
④A（-1，0），B（1，0），C（0，-1），D（0，1），線段l₁：y=0，l₂：x=0，則到線段l₁，l₂距離相等的點(diǎn)的集合D={P|d（P，l₁）=d（P，l₂）}={（x，y）|x²-y²=0}，故④正確．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查兩點(diǎn)之間的距離公式，考查利用兩點(diǎn)式寫直線的方程，考查點(diǎn)到線段的距離，本題是一個(gè)綜合題目．