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17.設函數fx=lnx+1+2xa(a∈R).若存在x0∈[0,1]使得f(f(x0))=x0,則a的取值范圍是[-1,2+ln2].

分析 由f(f(x0))=x0得f-1(x0)=f(x0),
根據f(x)與f-1(x)的對稱關系可得f(x0)=x0,
于是f(x0)∈[0,1],分離參數得到a的范圍.

解答 解:∵f(f(x0))=x0
∴f-1(x0)=f(x0),
∵f-1(x)和f(x)關于直線y=x對稱,
∴f(x0)=x0,
∵x0∈[0,1],
∴0≤lnx0+1+2x0a≤1,
即0≤ln(x0+1)+2x0-a≤1.
∴-[ln(x0+1)+2x0]≤-a≤1-[ln(x0+1)+2x0]
∴[ln(x0+1)+2x0]-1≤a≤ln(x0+1)+2x0]
∵存在x0∈[0,1]使f(f(x0))=x0,
∴-1≤a≤2+ln2.
故答案為:[-1,2+ln2].

點評 本題考查了反函數的性質以及函數最值的應用問題,是較難的題目.

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