Question

7．設函數(shù)f（x）=lg（$\frac{2}{x+1}$-1）的定義域為集合A，函數(shù)g（x）=-x²+2x+a（0≤x≤3，a∈R）的值域為集合B
（Ⅰ）求f（$\frac{1}{2015}$）+f（-$\frac{1}{2015}$）的值；
（Ⅱ）若A∩B=∅，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義和對數(shù)的運算性質(zhì)可得函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得．
（Ⅱ）由對數(shù)式的真數(shù)大于0求解集合A，求出二次函數(shù)g（x）在[0，3]上的值域，即集合B，根據(jù)A∩B=∅，利用兩集合端點值間的關系求解實數(shù)a的范圍；

解答 解：（Ⅰ）因為f（x）=f（x）=lg（$\frac{2}{x+1}$-1）=lg$\frac{1-x}{1+x}$，
所以f（-x）=lg$\frac{1+x}{1-x}$=-f（x），
所以f（x）為奇函數(shù)，
所以f（$\frac{1}{2015}$）+f（-$\frac{1}{2015}$）=0
（Ⅱ）由$\frac{2}{x+1}$-1＞0，得：-1＜x＜1，所以A=（-1，1），
函數(shù)g（x）=-x²+2x+a（0≤x≤3，a∈R）的對稱軸方程為x=1，
在[0，3]上的最小值為g（3）=a-3，最大值為g（1）=a+1，所以B=[a-3，a+1]．
由A∩B=∅，得：a-3≥1，或a+1≤-1，解得a≤-2，或a≥4，
所以滿足A∩B=∅的實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2]∪[4，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，考查了函數(shù)的值域，解決含有參數(shù)的集合關系問題，關鍵是兩集合端點值的大小比較，此題是中檔題．