Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+2且sinα，sin（α+

π

3

）是函數(shù)y=f（x）-

11

2

x-

3

2

的兩個零點(diǎn)，其中α∈（0，

π

2

）．
（1）求a的值；
（2）若g（x）=2e^x（x+1）對任意x≥-2，f（x）≤kg（x）恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)韋達(dá)定理得到sinα+sin（α+

π

3

）=

11

2

-a，sinα•sin（α+

π

3

）=

1

2

，再根據(jù)三角函數(shù)中的積化和差求出α的值，繼而求出a的值，
（2）構(gòu)造函數(shù)F（x）=kg（x）-f（x）=2ke^x（x+1）-x²-4x-2，再求導(dǎo)，需要分類討論，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，問題得以解決．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+ax+2，函數(shù)y=f（x）-

11

2

x-

3

2

，
∴y=x²+ax+2-

11

2

x-

3

2

=x²-（

11

2

-a）x+

1

2

，
∴sinα+sin（α+

π

3

）=

11

2

-a，sinα•sin（α+

π

3

）=

1

2

，
∵sinα•sin（α+

π

3

）=

1

2

[cos

π

3

-cos（2α+

π

3

）]=

1

2

，
∴cos（2α+

π

3

）=-

1

2

，
∵α∈（0，

π

2

）．
∴2α+

π

3

∈（

π

3

，

4π

3

），
∴2α+

π

3

=

2π

3

，
∴α=

π

6

，
∴sinα+sin（α+

π

3

）=sin

π

6

+sin（

π

6

+

π

3

）=

3

2

=

11

2

-a，
∴a=4，
（2）由（1）知，f（x）=x²+4x+2，g（x）=2e^x（x+1）．
設(shè)函數(shù)F（x）=kg（x）-f（x）=2ke^x（x+1）-x²-4x-2，
則F′（x）=2ke^x（x+2）-2x-4=2（x+2）（ke^x-1）．
（ⅰ）若1≤k＜e²，則-2＜x₁≤0，從而當(dāng)x∈（-2，x₁）時，F′（x）＜0；
當(dāng)x∈（x₁，+∞）時，F′（x）＞0，即F（x）在（-2，x₁）上單調(diào)遞減，在（x₁，+∞）上單調(diào)遞增，
故F（x）在[-2，+∞）上的最小值為F（x₁）．
而F（x₁）=2x₁+2-x-4x₁-2=-x₁（x₁+2）≥0．
故當(dāng)x≥-2時，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．
（ⅱ）若k=e²，則F′（x）=2e²（x+2）（e^x-e^-2）．
從而當(dāng)x＞-2時，F′（x）＞0，即F（x）在（-2，+∞）上單調(diào)遞增．而F（-2）=0，
故當(dāng)x≥-2時，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．
綜上所述，k的取值范圍為[1，e²]

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值與最小值問題中的應(yīng)用以及三角函數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，判斷出函數(shù)的最值，恒成立的問題一般轉(zhuǎn)化最值問題來求解，本題即轉(zhuǎn)化為用單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的問題，求出最值再判斷出參數(shù)的取值．本題運(yùn)算量過大，解題時要認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)，避免變形運(yùn)算失誤，導(dǎo)致解題失敗．