Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，且a²+b=3，過它的右焦點(diǎn)F分別作直線l₁、l₂，其中l(wèi)₁交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，l₂交橢圓于M、N兩點(diǎn)，且l₁⊥l₂（如圖5所示）．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求四邊形MPNQ的面積S的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由橢圓的離心率、a²+b=3及隱含條件聯(lián)立求得a，b的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）當(dāng)兩直線有一條為對(duì)稱軸時(shí)，可直接求得四邊形MPNQ的面積，當(dāng)直線l₁ 的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線方程為y=k（x-1），和橢圓方程聯(lián)立后利用弦長(zhǎng)公式求得|PQ|的長(zhǎng)，同理求得|MN|的長(zhǎng)，求出面積后利用基本不等式求最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，
即

c

a

=

2

2

，

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

2

，整理得a²-2b²=1，
又a²+b=3，
∴b=1，則a²=2．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得橢圓的右焦點(diǎn)F為（1，0），
當(dāng)兩直線有一條為對(duì)稱軸時(shí)，過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線交橢圓于兩點(diǎn)（1，-

2

2

），（1，

2

2

），
四邊形MPNQ的面積S=

1

2

×2

2

×

2

=2；
當(dāng)直線l₁ 的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線方程為y=k（x-1），
則直線l₂的方程為y=-

1

k

(x-1)，
聯(lián)立

y=k(x-1) x2+2y2=2

，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

，
∴|PQ|=

1+k2

( 4k2 1+2k2 )2-4• 2k2-2 1+2k2

=

2 2 (k2+1)

1+2k2

．
同理可得|MN|=

2 2 (k2+1)

k2+2

．
∴SMPNQ=

1

2

•

2 2 (k2+1)

1+2k2

•

2 2 (k2+1)

k2+2

=4•

k4+2k2+1

2k4+5k2+2

．
=2(1-

k2

2k4+5k2+2

)=2(

1

2k2+ 2 k2 +5

)．
∵k²＞0，
∴2k2+

2

k2

+5≥9．
則SMPNQ∈(0，

2

9

]．
∴四邊形MPNQ的面積S的取值范圍是(0，

2

9

]∪{2}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系解題，是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點(diǎn)是計(jì)算量比較大，要求考生具備較強(qiáng)的運(yùn)算推理的能力，是壓軸題．